Quotient non séparé

Démarrelesprobas · November 2018

Salut,

Avez-vous un exemple, si possible très simple, d'espace topologique séparé tel que le quotient ne soit pas séparé ?

Lupulus · November 2018

Prends $\Bbb R$ et quotiente par la relation "avoir le même signe" (+,-,0)

Math Coss · November 2018

Dans $G=\R^2$, on considère le sous-groupe $H=\bigl\{(x,y)\in\R^2,\ x=\sqrt{2}\,y\bigr\}$. Comme $H$ est dense dans $G$, l'adhérence d'un point de $G/H$ est $G/H$ entier.

Edit : tel quel, c'est évidemment débile, $H$ est une droite tout à fait fermée et $\R^2/H$ est isomorphe à $\R$. Il faut, comme le dit Lupulus plus bas, projeter sur $G/\Z^2$ pour obtenir un quotient non séparé où tout point est dense. Autrement dit, considérer le quotient $\bar G=\R^2/\Z^2$ quotienté par l'image $\bar H$ de $H$ dans $\bar G$.

babsgueye · November 2018

Salut.

@Lupulus c'est quoi le signe de $0$ ? Donc pourquoi ton espace est séparé ?

Lupulus · November 2018

$\Bbb R$ est séparé avec la topologie usuelle.

Ma relation est plus précisément $x \sim y$ si $x >0, y>0$ ou $x<0,y<0$. L'espace quotient est donc $\{-,0,+\}$ et les ouverts sont $\{\emptyset, \{-\}, \{+\}, \{-,+\}, \{-,0,+\}\}$ donc le quotient n'est pas séparé.

Lupulus · November 2018

@Math Coss : voulais-tu dire l'image de $H$ dans $G' = \Bbb R^2/\Bbb Z^2$ ?

Démarrelesprobas · November 2018

@Lupulus : ta relation n'est pas réflexive car on n'a pas $0\sim 0$ non ?

GaBuZoMeu · November 2018

La relation d'équivalence dont parle Lupulus est celle qui a trois classes d'équivalence : $\{0\}$, $\mathbb R_+^*$ et $\mathbb R_-^*$.

Démarrelesprobas · November 2018

Du coup c'est $x\sim y\iff (x,y<0\text{ ou }x=y=0\text{ ou }x,y>0)$ ?

Lupulus · November 2018

Comme par définition pour une relation d'équivalence on a toujours $x \sim x$ je ne l'avais pas précisé, mais effectivement en toute rigueur c'est bien ça.

Démarrelesprobas · November 2018

Merci !

Démarrelesprobas · November 2018

J'ai du mal à vérifier à quoi est égale ta topologie quotient Lupulus. Je note $\pi$ la surjection canonique, $\mathcal T_{\pi}$ la topologie quotient et $\mathcal T_u$ la topologie usuelle de $\mathbf R$.

Il est d'abord clair que $\mathbf R/\sim\, =\{\mathbf R_{-}^{*},\{0\},\mathbf R_{+}^{*}\}$ puis c'est ensuite que j'ai galéré et je me suis certainement trompé.

Par définition, $\mathcal T_{\pi}=\{X\in\mathcal P(\mathbf R/\sim), \pi^{-1}(X)\in\mathcal T_u\}$.

On a $\mathcal P(\mathbf R/\sim)=\{\emptyset,\mathbf R/\sim,\{\mathbf R_{-}^{*}\},\{\{0\}\},\{\mathbf R_{+}^{*}\},\{\mathbf R_{-}\},\{\mathbf R_{+}\},\{\mathbf R^{*}\}\}$

Donc on trouve : $\mathcal T_{\pi}=\{\emptyset,\mathbf R/\sim,\{\mathbf R_{-}^{*}\},\{\mathbf R_{+}^{*}\},\{\mathbf R^{*}\}\}$

Je pense que je me suis trompé car je ne vois pas pourquoi cette topologie n'est pas séparée.

Poirot · November 2018

Comment sépares-tu $\{0\}$ de $\mathbf R_{+}^{*}$ par exemple ?

GaBuZoMeu · November 2018

Je dirais plutôt $\{0\}$ de $\mathbb R_+^*$.

Poirot · November 2018

Oui exact.

Démarrelesprobas · December 2018

D'accord c'est bon merci :

Pour $\{0\}$ le seul ouvert possible est $\mathbf R/\sim$.
Pour $\mathbf R_+^*$, les seuls ouverts possibles sont $\mathbf R/\sim$ et $\{\mathbf R_+^*\}$ qui rencontrent $\mathbf R/\sim$.

Donc $(\mathbf R/\sim,\mathcal T_u)$ n'est pas séparé.