Distance sur le cercle unité

Démarrelesprobas
Démarrelesprobas
dans Topologie
Salut,

Soit $\mathbf U=\{z\in\mathbf C, |z|=1\}$ le cercle unité. Soit $d:(u,v)\in\mathbf U^2\mapsto|\arccos (\text{Re}(u\overline{v}))|$

Je ne comprends pas pourquoi $d(u,v)$ représente géométriquement la longueur de l'arc de cercle unité entre $u$ et $v$.

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Écris $u,v$ sous forme exponentielle et fais un dessin.
  • Démarrelesprobas
    Démarrelesprobas
    Je note : $u=e^{i\theta_u}$ et $v=e^{i\theta_v}$. Sauf erreur, on obtient $d(u,v)=|\theta_u-\theta_v|$.

    Donc $d(u,v)$ est un géométriquement une différence d'angle, non ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    C’est comme si tu dis : donc c’est géométriquement un réel...
    Non, il faut définir un être mathématique géométrique.
    Par exemple, quelle est la longueur d’arc d’un cercle de rayon $r>0$ défini par une ouverture angulaire $\alpha$ dans $[0,2\pi]$ ?
    Quel rapport avec la choucroute ?
  • Démarrelesprobas
    Démarrelesprobas
    Je me suis mal exprimé. Je ne comprends pas comment interpréter géométriquement sur un dessin en reconnaissant la longueur d'arc voulue.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Sur le cercle trigonométrique, l’arc de cercle d’angle au centre $a$ est d’une longueur $a$. Es-tu d’accord ?
  • Démarrelesprobas
    Démarrelesprobas
    J'avoue avoir un peu honte mais je ne connais pas cette propriété. Comment la retrouver rapidement ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Le périmètre d'un cercle de rayon $1$, c'est $2\pi$.

    Qu'est-ce que c'est, pour toi, la mesure d'un angle en radians ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Fais un dessin. Si l’angle double, la longueur d’arc double, n’est-ce pas ? Donc la longueur varie linéairement avec l’angle. Comme pour $2\pi$ on a $2\pi r$, avec $r>0$ le rayon du cercle, alors pour $\theta$ on a $\theta r$ (modulo $2\pi$). C’est un niveau seconde...
  • Démarrelesprobas
    Démarrelesprobas
    Effectivement (tu)
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