Valeurs d'adhérence d'une suite

topo29
topo29
dans Topologie
Bonjour, j'essaye de montrer que si pour une suite $(u_n)$ on a $\lim_{n\to +\infty}u_{2n}=\ell_1$ et $\lim_{n\to +\infty}u_{2n+1}=\ell_2$
alors, $\ell_1$ et $\ell_2$ sont les deux seules valeurs d'adhérence de la suite $(u_n)$.

J'essaye de démontrer par l'absurde. Soit $\ell$ une autre valeur d'adhérence différente de $\ell_1$ et $\ell_2$.
Donc il existe une sous-suite $(u_{\varphi(n)})$ qui converge vers $\ell$
Mais je n'arrive pas à continuer, est-ce que je peux supposer que $\varphi(n)$ est pair par exemple ? Mais cela n'a aucun sens de dire $(u_{2n}) $ converge vers $\ell_1$ et $(u_{\varphi(n)})$ est une sous-suite qui converge vers une limite différente.
Comment faire ?
Merci

Réponses

  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Il faut utiliser :
    $i)$ qu'une sous-suite d'une suite convergente est convergente.
    $ii)$ et que l'ensemble des indices pairs ou impairs de ta sous-suite est infini.
  • topo29
    topo29
    le commencement est bien?

    je suppose deux cas ${\varphi(n)}$ pair ou impair?
  • michael
    michael
    Oui, le commencement est bien.
    Il n'y a aucune raison que les entiers $\varphi (n)$ soient tous pairs ou tous impairs. Mais tu es certain que parmi ces entiers, il y en a une infinité qui sont pairs ou une infinité qui sont impairs (c'est le $ii)$ de BobbyJoe). Reste à utiliser le $i)$.
  • topo29
    topo29
    Donc il existe une sous suite $(u_{\varphi(n)})$ qui converge vers l

    si
    $card\{\varphi(n)=2k, k\in \mathbb{N}\}=\infty$

    alors $(u_{\varphi(n)})$ est une suite de $(u_{2n})$ qui converge vers $l_1$

    donc $(u_{\varphi(n)})$ converge vers $l_1$ elle vérifie donc À partir d'un certain rang $n_2$ | $u_{\varphi(n)}-l_1|<\varepsilon $

    donc pour tout epsilon $|l_1-l|<|l_1-u_{\varphi(n)}|+|l-u_{\varphi(n)}|<2\varepsilon $

    mais je trouve une contradiction avec le fait que l soit différent de l_1 .

    normalement je doit trouver une contradiction avec les hypothèses
  • michael
    michael
    Ce que tu écris ne m'apparaît pas très clair.
    Considère l'ensemble $E=\{\varphi (n) ; n \in \mathbb{N} \}$ des indices de ta sous-suite qui converge vers la supposée troisième valeur d'adhérence $l$ de ta suite $(u_n)_n$.
    Premier cas : $E$ contient une infinité de nombres pairs.
    Que dire d'une sous-suite de $(u_{\varphi (n)})$ dont les indices sont pairs (elle existe puisque ces indices sont en nombre infini), vu le $i)$ de BobbyJoe ? Conclusion ?

    Deuxième cas : $E$ contient une infinité de nombres impairs.
    Idem que dans le premier cas en remplaçant "pair" par "impair".
  • topo29
    topo29
    dans le premier cas la sous suite converge vers l_1 la limite de $u_{2n}$
  • michael
    michael
    Certes, mais comme c'est aussi une sous-suite de $(u_{\varphi (n)})_n$ et qu'on a supposé que cette dernière converge vers $l$... Je te laisse continuer.
  • topo29
    topo29
    oui c'est ce que j'ai fait elle converge vers l et l_1

    puis j'ai estimé $|l_1-l|$ mais je trouve que l est égale à $l_1$ mais ce n'ai pas ce qu'il faut trouver lorsqu'on démontre par l'absurde
  • topo29
    topo29
    ou bien je ne dois pas estimer la différence entre les deux limites et dire que la contradiction et avec l'unicité de la limite dans R??
  • michael
    michael
    Tu supposes qu'il existe $l \neq l_1$ tel que bla bla bla et tu arrives à montrer que, sous cette hypothèse, on a $l=l_1$. Ça nous fournit bien la contradiction cherchée, non ?
    Et pour justifier que $l=l_1$, l'unicité de la limite d'une suite (lorsqu'elle existe) dans $\mathbb{R}$ suffit. C'est un théorème du cours, pas besoin de le redémontrer.
  • topo29
    topo29
    mais on dit toujours la contradiction dans la preuve par l'absurde se fait avec les hypothèses et pas avec la condition de l'absurde
  • topo29
    topo29
    vous avez compris mon problème on ne peux pas supposer pas l'absurde que l est différent de l_1et l_2 puis arriver au fait que l=l_1ou l=2 et dire que c'est une contradiction
  • michael
    michael
    Si ça te dérange (je ne comprends pas pourquoi), ne raisonne pas par l'absurde : soit $l$ une valeur d'adhérence de $(u_n)_n$ alors bla bla bla [le raisonnement suivi ci-haut] donc $l=l_1$ ou $l=l_2$ nécessairement.
  • topo29
    topo29
    On m'a toujours dit quand on procède par l'absurde la contradiction n'est jamais avec l'hypothèse de l'absurde.
  • michael
    michael
    Qu'appelles-tu l'"hypothèse de l'absurde" ?
    Comme dit dans mon message précédent, un raisonnement par l'absurde n'est pas nécessaire de toute façon. Tu peux montrer que pour tout $l$ valeur d'adhérence de ta suite alors $l=l_1$ ou $l=l_2$. Il suffit de le rédiger comme indiqué ci-avant.
  • topo29
    topo29
    l'hypothèse de l'absurde est "supposons qu'il existe une valeurs d'adhérence $l$ telle que $l\neq l_1$ et $ l \neq l_2$"
  • gerard0
    gerard0
    Encore une fois, pourquoi prends-tu cette hypothèse inutile ?

    Et qui t'a dit que "quand on procède par l'absurde la contradiction n'est jamais avec l'hypothèse de l'absurde." ?

    Si tu fais une hypothèse A et que tu en déduis non A, alors tu n'as pas vraiment fait une preuve par l'absurde, mais prouvé que A implique (A et non A). N'est-ce pas suffisant pour conclure que non A (*) ?

    Cordialement.

    (*) que A est faux (dans les hypothèses autres) si tu préfères.
  • topo29
    topo29
    et s'il vous plaît si E possède une infinité de nombre paire et une infinité de nombre impaire que dire?

    On extrait une sous suite d'indice paire et une autre d'indices impaire?
  • michael
    michael
    $E$ possède une infinité de nombres pairs ou une infinité de nombres impairs signifie que $E$ possède l'un ou l'autre ou les deux. Le "ou" en mathématique est inclusif.

    Édit : cela dit, ici, ce n'est pas possible si $l_1 \neq l_2$ (pourquoi ?).
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone : bonjour l'imprécision de ta question déjà. Quelles propriétés de l'espace topologique supposés tu ? Parce qu'appeler valeur d'adhérence les limites des sous-suites bof bof.

    Si ton espace est séparé (tape Google) et que l n'est ni l1 ni l2 tu as un ouvert U contenant l et un entier m tel que pour tout n>m le terme u_n est en dehors de U. Dire ça serait mieux qualifié en parlant de raisonnement par contraposée mais de toute façon l'important c'est que ça te convainque TOI avant de nommer les formes de raisonnement. Construis donc U. (J'ai choisi exprès une autre voie pour ne pas interférer avec tes conseilleurs précédent comme ça tu as un menu. )
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • topo29
    topo29
    Bonsoir, c'est vrai je n'ai pas précisé l'exercice est dans $(\mathbb{R},|.|)$.

    Je n'ai pas vraiment compris la deuxième méthode. Et pour le cas ou il y a une infinité d'indices pairs et impairs je ne vois pas pourquoi c'est impossible ? Moi j'ai eu l'idée de re-extraire deux sous-suites l'une d'indices pairs et l'autre impairs.
  • michael
    michael
    Tu supposes l'existence d'une sous-suite $(u_{\varphi (n)})$ de $(u_n)$ convergente vers $l$. Si cette sous-suite contient à la fois une infinité d'indices pairs et d'indices impairs, tu pourras en extraire deux sous-suites, l'une convergente vers $l_1$, l'autre vers $l_2$. Si $l_1 \neq l_2$, ça contredit la convergence de $(u_{\varphi (n)})$ puisqu'une suite convergente dans $(\mathbb{R}, |.|)$ n'a qu'une valeur d'adhérence.
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