Conitnuité en un point

Bonjour/bonsoir,

soit $f:X\to Y$ une application entre espaces topologiques.

Il est bien connu que l'on a les équivalences suivantes:

(1) pour tout ouvert $U$ de $Y$ $f^{-1}(U)$ est un ouvert de $X$

(2) pour tout fermé $F$ de $Y$ $f^{-1}(F)$ est un fermé de $X$

(3) pour tout $A\subset X$, $f(\overline{A})\subset\overline{f(A)}$.

Ces propriétés équivalentes définissent la continuité globale de $f$.


On définit aussi la continuité en un point $a$ de $X$ comme suit (on le définit généralement avec des voisinages, mais c'est kif kif bourricot):

pour tout ouvert $U$ de $Y$ contenant $f(a)$, $f^{-1}(U)$ est un ouvert de $X$ contenant $a$;

Du coup, j'aurais envie de dire que l'on a les équivalences suivantes:

(a) pour tout ouvert $U$ de $Y$ contenant $f(a)$, $f^{-1}(U)$ est un ouvert de $X$ contenant $a$

(b) pour tout fermé $F$ de $Y$ ne contenant pas $f(a)$, $f^{-1}(F)$ est un fermé de $X$ ne contenant pas $a$;

(c) pour tout $A\subset X$, $a\in\overline{A}\Rightarrow f(a)\in \overline{f(A)}$.


Je sais tout démontrer sauf $(c)\Rightarrow (b)$, ce qui est parfaitement ridicule, car je sais démontrer $(3)\Rightarrow (2)$ . Donc, soit c'est faux, soit un truc trivial m'échappe complètement...

Pour info: voici la démo de $(3)\Rightarrow (2)$ . Soit $F$ un fermé ,et soit $A=f^{-1}(F)$. On doit démontrer que $\overline{A}=A$. Par hypothèse.
$f(\overline{A})\subset \overline{f(A)}=\overline{f(f^{-1}(F))}$.
Or $f(f^{-1}(F))$ est contenu dans $F$, qui est fermé, et donc $\overline{f(f^{-1}(F))}\subset F$. Mais alors $f(\overline{A})\subset F$, soit $\overline{A}\subset f^{-1}(F)=A$. Donc $\overline{A}=A$ et $A$ est fermé.

Cette démonstration ne fonctionne plus pour $(c)\Rightarrow (b)$, a priori (en tout cas, je ne vois pas comment l'adapter).

Bref, je manque un truc trivial, et je suis certaine que je vais dire "bon sang, mais c'est bien sûr!!!" quand on me donnera la réponse. Help ?

Merci d'avance!

Mel.