Connexité et compacité

Merci Rescassol.

Pour le premier exo : Est ce que $ \mathbb{Q} $ est une partie connexe de $ \mathbb{R} $ ?.

Montrer que $ \mathbb{Q} $ est une partie non connexe de $ \mathbb{R} $ revient à montrer qu'il est possible d'exprimer : $ \mathbb{Q} $ comme réunion disjointe de deux ouverts non triviaux, non ? Or, $ \mathbb{Q} = \big( \mathbb{Q} \cap ] - \infty , \sqrt{2} [ \big) \coprod \big( \mathbb{Q} \cap ] \sqrt{2} , + \infty [ \big) $. D'où $ \mathbb{Q} $ n'est pas une partie connexe de $ \mathbb{R} $, non ?

Merci d'avance.

Comment démontrer à l'aide de la définition que $ \mathbb{R} $ est connexe ?
Merci d'avance.

NB. Je sais parfois montrer qu'un objet est non connexe, mais je ne suis pas assez familier de montrer qu'un objet est connexe. (:P)

Merci JLT. :-)

A l'aide de la définition, voici comment je réponds pour le premier exercice :

$ 1) $ :
Montrons que : $ A \cap B $ est compact.
Soit : $ ( U_i \cap A \cap B )_{ i \in I } $ un recouvrement ouvert de $ A \cap B $ avec : $ (U_i )_{ i \in I } $ des ouverts de $ E $.
Alors, $ (( U_i \cap A) \cup \complement_{E} B )_{ i \in I } $ est un recouvrement ouvert de $ A $.
Par hypothèse, $ A $ est compact.
Alors, il existe un sous recouvrement ouvert fini de $ A $ : $ (( U_i \cap A) \cup \complement_{E} B )_{ i = 1 , \dots , n } $ tel que : $ A = \displaystyle \bigcup_{ i = 1 , ... , n } (( U_i \cap A ) \cup \complement_{E} B ) $.
Par conséquent, $ A \cap B = \big( \displaystyle \bigcup_{ i = 1 , ... , n } (( U_i \cap A ) \cup \complement_{E} B ) \big) \cap B = \displaystyle \bigcup_{ i = 1 , ... , n } (( U_i \cap A) \cap B ) = \displaystyle \bigcup_{ i = 1 , ... , n } ( U_i \cap A \cap B ) $.
Par conséquent, $ A \cap B $ est compact .

C'est correct ?

$ 2) $ :
Montrons que : $ A \cap B $ est compact.
Soit $ (U_i \cap A \cap B )_{ i \in I } $ un recouvrement d'ouverts quelconque de $ A \cap B $ avec : $ U_i $ des ouverts de $ E $. Là je n'arrive pas à trouver l'astuce en n'utilisant que la définition afin de répondre à cette question, pouvez vous m'aider un peu s'il vous plaît ?

Merci d'avance.

Pour $ b) $, je cherche une astuce qui n'utilise que la définition. J'ai déjà pensé à ton raisonnement JLT, mais je voulais n'utiliser que la définition. Je ne trouve pas ce raisonnement. Il existe ou non JLT ?

Il me semble que j'ai trouvé la réponse ( JLT ) : :-)

Soit $ A \cap B = \displaystyle \bigcup_{ i \in I } ( U_i \cap A \cap B ) $ un recouvrement ouvert quelconque de $ A \cap B $.
Puisque $ A $ et $ B $ sont compact, il existe pour chacun un recouvrement ouvert fini tels que :
$ A = \displaystyle \bigcup_{ j \in J , \ \ \mathrm{fini} } V_j $
$ B = \displaystyle \bigcup_{ k \in K , \ \ \mathrm{fini} } W_k $
Par conséquent :
$ A \cap B = \displaystyle \bigcup_{ i \in I , \\ j \in J , \\ k \in K } ( U_i \cap V_j \cap W_k ) $
Puisque : $ \forall i \in I $ : $ U_i \cap V_j \cap W_k \subset V_j \cap W_j $, alors : $ A \cap B = \displaystyle \bigcup_{ i \in I , \\ j \in J , \\ k \in K } ( U_i \cap V_j \cap W_k ) = \displaystyle \bigcup_{ j \in J , \\ k \in K } ( V_j \cap W_k ) $
Par conséquent, $ A \cap B $ est compact.

C'est correct ?

Je corrige :

Soit $ A \cap B = \displaystyle \bigcup_{ i \in I } ( U_i \cap A \cap B ) $ un recouvrement ouvert quelconque de $ A \cap B $ tels que les $ U_i $ sont des ouverts de $ E $.
Soit $ A = \displaystyle \bigcup_{ j \in J' } V_j $ un recouvrement ouvert de $A$.
Soit $ B = \displaystyle \bigcup_{ k \in K' , \ \ \mathrm{fini} } W_k $ un recouvrement ouvert de $B$
Puisque $ A $ et $ B $ sont compact, il existe pour chacun un sous recouvrement ouvert fini tels que :
$ A = \displaystyle \bigcup_{ j \in J , \ \ \mathrm{fini} } V_j $
$ B = \displaystyle \bigcup_{ k \in K , \ \ \mathrm{fini} } W_k $
Par conséquent :
$ A \cap B = \displaystyle \bigcup_{ i \in I , \\ j \in J , \\ k \in K } ( U_i \cap V_j \cap W_k ) $
Puisque : $ \forall i \in I $ : $ U_i \cap V_j \cap W_k \subset V_j \cap W_j $, alors : $ A \cap B = \displaystyle \bigcup_{ i \in I , \\ j \in J , \\ k \in K } ( U_i \cap V_j \cap W_k ) = \displaystyle \bigcup_{ j \in J , \\ k \in K } ( V_j \cap W_k ) $
Par conséquent, $ A \cap B $ est compact.

C'est correct maintenant JLT ?

Drapeau blanc. :-)
Peux-tu me montrer comment on résout cette question à l'aide de la définition si tu en as la réponse JLT ?

edit :
Je saisis bien pourquoi il faut passer par : $ \text{compact} \ \ \Longrightarrow \ \ \text{fermé} $, parce que même si on imite la réponse $1) \ a) $, il y a un passage où il faut utiliser $ \text{compact} \ \ \Longrightarrow \ \ \text{fermé} $ lorsqu'il faut passer au complémentaire, donc, $ \text{compact} \ \ \Longrightarrow \ \ \text{fermé} $ est indispensable.

S'il vous plaît, comment montre-t-on que $ \mathbb{R} $ est connexe pour la topologie usuelle en n'utilisant que la définition ?
Merci d'avance.

Pour $ 1) $ :
On a $ c = \mathrm{sup} ( I \cap U ) $, d'où : $ c \in \overline{ I \cap U } $.
Par conséquent, $ \exists ( c_n )_{ n \geq 0 } \subset I \cap U $ tel que : $ c_n \ \underset {n \to + \infty}{ \longrightarrow } c $.
Par conséquent, $ \exists ( c_n )_{ n \geq 0 } \subset U $ tel que : $ c_n \underset {n \to + \infty}{ \longrightarrow } c $.
Puisque $ U $ est fermé, alors $ c \in U $.

Correct JLT ?
Merci.

NB. :
Comment corrige-t-on le Latex afin de maintenir $ n \to + \infty $ juste au dessus de $ \longrightarrow $ dans la formule : $ c_n \displaystyle \longrightarrow_{ n \to + \infty } c $.

edit :
Latex est maintenant corrigé.

JLT a écrit:

"$U$ connexe" : pas prouvé.

Comment prouve-t-on que $ U $ est connexe JLT ?

Supposons que : $ c < b $ est une fausse assertion.
Puisque : $ c = \mathrm{sup} (I \cap U) $ et $ b = \mathrm{sup} I $, alors $ \mathrm{sup} (I \cap U) < \mathrm{sup} I $ est une assertion fausse.
C'est à dire : $ \mathrm{sup} (I \cap U) \geq \mathrm{sup} I $. ( Contradiction ).
D'où : $ c < b $, non ?

Ah oui, supposons que $ c < b $ est fausse.
Puisque : $ c = \mathrm{sup} (I \cap U) $ et $ b = \mathrm{sup} I $, alors $ \mathrm{sup} (I \cap U) < \mathrm{sup} I $ est une assertion fausse.
D'où : $ \mathrm{sup} (I \cap U) = \mathrm{sup} I $
C'est à dire : $ c = b $
Et donc $ U \cap V \neq \emptyset $ ( Contradiction ).
Non ?

Merci JLT. :-)

D'accord Poirot, mais je fais les deux, j'apprends les cours de L3, et en meme temps j'apprends un peu sur les topos et les catégories dérivées... Un peu de çi, un peu de ça ... ;-)

JLT :

Pour l'exercice $ 6) $ :
$ 1) \ b) $ n'est pas toujours vrai si on suppose $ E $ non séparé. Voici un exemple :
On considère $ I^* = [-1,1]^* $ un intervalle de $ \mathbb{R} $ où par exemple le point situé à l'abscisse $ 0 $ est un point double.
Par conséquent $ I^* $ est un sous espace non séparé de $ \mathbb{R} $.
D'autre part,
- La partie $ I_1^* = [-1,1]_1^* $ de l'intervalle $ I^* $ qui est l'intervalle $ [-1,1] $ où le point situé à l'abscisse $ 0 $ est le point supérieur du point double.

- La partie $ I_2^* = [-1,1]_2^* $ de l'intervalle $ I^* $ qui est l'intervalle $ [-1,1] $ où le point situé à l'abscisse $ 0 $ est le point inférieur du point double.
Or, $ I_1^* $ et $ I_2^* $ sont deux parties quasi compact de $ I^* $, mais leur intersection $ I_1^* \cup I_2^* = [-1, 0 [ \cap ]0 , 1 ] $ n'est pas quasi compact, non ?