Système fondamental de voisinages

Ça peut effectivement permettre de définir des topologies sans définir exactement tous les ouverts; par exemple la topologie habituelle sur $\mathbb R$ est définie par un système fondamental de voisinages de chaque nombre : l'ensemble des intervalles ouverts qui le contient.
Mais il y a d'autres utilisations que tu rencontreras éventuellement.

Une fois connue la notion, on peut continuer à apprendre le reste.

Cordialement.

Marco_94,

soit tu fais un exercice et tu as un énoncé précis, qu'il faut donner, soit tu poses des questions "comme ça" et tu es perdu. Un voisinage ouvert est ... un ouvert contenant le point. Donc pas de r ni de d(M, A) <r. Et même, en topologie générale, pas de distance.

Donc dans tous les cas, tu as intérêt à expliquer clairement ce que tu fais (et quel domaine de topologie tu traites : topologie de $\mathbb R$, espaces métriques, espaces topologiques (topologie générale). Sinon, tu va écrire des tas de messages et répondre à des tas de questions, pour arriver au même point.

Cordialement.

A est quoi ? Et je change le nom de À en B pour la clarté. Si A n'est pas X, A, muni de la distance définie sur X, restreinte à A, est un espace métrique, donc pourquoi en parler.

Ensuite, ce que tu appelles les Vr, ce sont les boules ouvertes. Dans X ? Dans A ? Dans B ?
"n'est pas nécessairement un système fondamental" de voisinages dans quel espace topologique ?

C'est normal d'avoir des difficultés à poser clairement des questions quand on débute, mais alors on ne peut pas se permettre d'être imprécis. Si on parle d'une topologie, il faut dire de quel ensemble; si on parle d'un système fondamental de voisinages, idem. Si on définit des notations, c'est pour qu'elles servent.
Enfin, j'espère que tu es clair sur la notion de topologie induite, car on dirait que tu t'en approche fortement.


NB : Je n'ai pas compris ce que U venait faire dans l'affaire, mais comme rien n'est clair !! Donc il est important de tour reprendre avec tous les mots nécessaires.

"un système fondamental de voisinages" tout seul, ça n'a pas de sens. Surtout quand il y a plusieurs ensembles en cause. "système fondamental" encore moins.

Désolé, mais si tu ne comprends pas mes interrogations, c'est que tu n'as pas vraiment compris la notion de système fondamental de voisinage.

@Marco_94,

Tu demandes si l’ensemble $\{ M \in \mathbb{R}^2 | d(M,A)< r\}$ où $A$ est une partie de $\mathbb{R}^2$, est un système fondamental de voisinages, mais de quel point?
Peut-être parles-tu d’une définition d’un « système fondamental de voisinages d’une partie » et pas seulement d’un point? Comment le définis-tu?

Bon si c’est dans le premier cadre, il y a du sens mais pas d’intérêt...
Bref, tu dis avoir trouvé un réel strictement positif $r$ tel que $U$ contienne $V_r (A)$, lequel? Quel couloir d’épaisseur constante entourant strictement la partie du quadrant supérieur droit de la fontion inverse est dans $U$??

La question est « quel $V_r(A)$ aurais-tu trouvé qui soit dans ce $U$ défini plus haut!

Supposons qu’un $r$ réponde à la question, il existe $\alpha >0$, tel que pour tout $x \in [\alpha,+\infty[$, on ait:
$|\frac{1}{x}|<\frac{r}{3}$.
Soit $x \in [\alpha,+\infty[$ et $A$ le point de coordonnées $(x,\frac{1}{x}-\frac{r}{2})$ et $M$ le point de coordonées $(x,\frac{1}{x})$.
Alors $AM<\frac{r}{2}<r$. Mais alors $y_A=\frac{1}{x}-\frac{r}{2}=-\frac{r}{6}<0$, donc on a trouvé un point $A\in V_r (A)$ qui n’est pas dans $U$...

$\mathcal{B}_A = \bigcup_{(\alpha,\beta) \in (\mathbb{R}_+^*)^2, \alpha \cdot \beta < \alpha + \beta } \{ (x,y) \in (\mathbb{R})_+^* \mid \beta x+\alpha y >\alpha \cdot \beta \}$ est un système fondamental de voisinages de $A$. Vérifie-le.