Confusion compact et fermé

Bonjour

Hypothèse : $E$ un espace métrique et $K=\{a_n\mid n \in \mathbb{N}\}\cup \{a\}$ un compact de $E$ tel que $a_n \rightarrow a$
Soit $g:X \rightarrow Y$ une application continue d'un espace métrique $X$ dans un espace métrique $Y$ telle que pour tout compact $K$ de $Y$, l'image réciproque $g^{-1}(K)$ est un compact de $X$
Question : montrer que l'application $g$ est fermé .

Réponse : Soit $F$ un fermé de $X$ et on montre que $g(F)$ est un fermé de $Y$
Soit $(y_n)=\big(g(x_n)\big)$ une suite d'éléments de $g(F)$ telle que $y_n \rightarrow y \in Y$.
- Pour la suite c'est facile, d'après la continuité de $g$ et l'unicité de la limite on peut conclure.
Merci.
Considérons le compact $K=\{y_n\mid n \in \mathbb{N}\}\cup\{y\}$. Comme la suite $(x_n)$ est d'éléments du compact $g^{-1}(K)$, on peut donc extraire une sous-suite $(x_{\phi_n})$ convergente vers $x \in F$.

P.S. On arrête ici où j'ai du problème à comprendre comment $(x_{\phi_n})$ converge dans $F$ ? Je sais que $F$ est fermé, est-ce que $g^{-1}(K) \subset F$ si oui je n'arrive pas à le démontrer.