Problème au niveau des distances
Bonjour
$\ell^{\infty}$ est l'ensemble des suites réelles bornées muni de la distance $d$ : $d(x,y)=\sup_n|x_n - y_n|$, $c_0$ le sous-ensemble des suites réelles convergentes vers 0.
Soit $(x_n)_n$ une suite d'élément de $c_0$ et $(z_n)_n$ une suite d'éléments du complémentaire de $c_0$ tel que $(z_n)_n$ converge vers $\ell>0$.
On pose $(u_n)_n= (z_n - x_n)_n$
Question : en considérant la limite de $(u_n)_n$ déduire (en fonction de $\ell$) un minorant strictement positif de $d(x,z)$ et ceci pour tout $x \in c_0$;
La réponse : $u_n$ converge vers $\ell$ quel que soit la suite $(x_n)$ alors $$ d(x,y)=\sup|x_n - y_n| \geqslant \ell \quad (\text{Pourquoi il a déduit ça directement ?}).
$$ Et il a dit que si $d(x,z)<\ell$ la suite $(z_n)_n$ ne peut converger vers $\ell$ (pourquoi ?)
$\ell^{\infty}$ est l'ensemble des suites réelles bornées muni de la distance $d$ : $d(x,y)=\sup_n|x_n - y_n|$, $c_0$ le sous-ensemble des suites réelles convergentes vers 0.
Soit $(x_n)_n$ une suite d'élément de $c_0$ et $(z_n)_n$ une suite d'éléments du complémentaire de $c_0$ tel que $(z_n)_n$ converge vers $\ell>0$.
On pose $(u_n)_n= (z_n - x_n)_n$
Question : en considérant la limite de $(u_n)_n$ déduire (en fonction de $\ell$) un minorant strictement positif de $d(x,z)$ et ceci pour tout $x \in c_0$;
La réponse : $u_n$ converge vers $\ell$ quel que soit la suite $(x_n)$ alors $$ d(x,y)=\sup|x_n - y_n| \geqslant \ell \quad (\text{Pourquoi il a déduit ça directement ?}).
$$ Et il a dit que si $d(x,z)<\ell$ la suite $(z_n)_n$ ne peut converger vers $\ell$ (pourquoi ?)
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Réponses
Ta dernière phrase est l'explication de l'inégalité précédente. Qui est donc donnée avec une explication de la preuve.
Essaie déjà de prouver cette dernière phrase (en posant 2e=l-d(x,l), pour n suffisamment grand, $|x_n|<e$ donc ....).
Puis tu en déduiras l'inégalité sur d(x,y).
Cordialement.
NB : Sur ce genre de question, il ne suffit pas de demander des explications, il faut aussi chercher vraiment soi-même.