Théorème de d'Alembert
Bonjour
Je bloque sur la démonstration du théorème de d'Alembert via le groupe fondamental dans le livre de "Toplogy, James Munkres".
Je vous envoie ci joint la preuve.
1) Dans l'étape 1 pour montrer que $f_*$ est injective, sachant que $f$ est un homéomorphisme alors $f_*$ est un isomorphisme de groupe donc injective ?
2) Dans l'étape 2 Pourquoi $g$ ne peut pas être homotope à une application constante ?
3) Dans l’étape 3 pourquoi si $h$ s’étend de la boule unité dans $\mathbb{R}^2 \setminus \{0 \}$ alors $h$ est homotope à une application constante ?
Merci d'avance.
Je bloque sur la démonstration du théorème de d'Alembert via le groupe fondamental dans le livre de "Toplogy, James Munkres".
Je vous envoie ci joint la preuve.
1) Dans l'étape 1 pour montrer que $f_*$ est injective, sachant que $f$ est un homéomorphisme alors $f_*$ est un isomorphisme de groupe donc injective ?
2) Dans l'étape 2 Pourquoi $g$ ne peut pas être homotope à une application constante ?
3) Dans l’étape 3 pourquoi si $h$ s’étend de la boule unité dans $\mathbb{R}^2 \setminus \{0 \}$ alors $h$ est homotope à une application constante ?
Merci d'avance.
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Réponses
2) Si $g$ était homotope à une application constante, alors $g_*$ serait triviale.
3) Il suffit d'homotoper le cercle en un point du cercle en passant par l'intérieur de la boule.
2) $g_*$ n'est pas trivial car $\pi (\mathbb S^1) =\mathbb Z $, ok.
Par contre, pour ma question 3) ce n'est pas clair. D'après l'argument que vous avez donné au 2) $h_*$ est trivial car la boule unité et $\mathbb{R}^2 \setminus\{0\}$ sont simplement connexes ?
Il suffit de montrer, en se servant du prolongement $k$, que tu peux homotoper $h$ en une application constante sur le cercle. Par exemple en définissant $$(z,t) \mapsto k(f_t(z))$$ pour $t \in [0, 1]$, où $f_t : z \mapsto (1-t)z$.
1/ il existe un complexe $a$ tel que $\forall z: |P(a)|\leq |P(z)|$. Suppose-le non nul.
2/ Tu prends un cercle infiniment petit centré en $a$. Tu le parcours. Pendant que tu le parcours, $P(z)$ tourne autour de $P(a)$, en fait il tourne $n$ fois plus vite que $z$ où $n$ est le premier entier tel que $P^{(n)}(a)\neq 0$. Donc il y a un moment où $|P(z)|<|P(a)|$ durant ce parcours (contradiction).
Je te laisse (éventuellement) poser des questions sur le point 2 (c'est du calcul complexe de "en théorie" terminale)
Sinon il y a aussi une démonstration avec le théorème de Rouché et de Liouville (Analyse complexe) que je trouve très jolie.
Merci pour la preuve.