Topologie sur un produit

Anas Mourahib
Anas Mourahib
dans Topologie
Soit E1 et E2 deux espaces topologiques, et soit E l'espace produit, muni d'une topologie.

1)Est ce que toutes les topologies qu'on peut construire sur E rendent les projections continues?

2) Sinon, est ce que la topologie produit est la seul topologie rendant les projections continues?

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    1) non
    2) voir la définition générale d'une topologie produit (premier paragraphe).

    Cordialement.
  • Math Coss
    Math Coss
    1) Non en général : si $E$ est muni de la topologie grossière ($E$ et $\emptyset$ sont les seuls ouverts), il serait bien étonnant que les deux projections soient continues. Saurais-tu dire quand la topologie produit est la topologie grossière ?

    2) Non en général : si $E$ est muni de la topologie discrète (l'ensemble des parties de $E$), toute application de $E$ dans un espace topologique est continue (pourquoi ?). Saurais-tu dire quand la topologie produit est la topologie discrète ?

    La topologie produit est la topologie la plus grossière qui rend les projections continues.
  • Anas Mourahib
    Anas Mourahib
    @Gerard 0, Merci infiniment.

    @Math Coss, Non je parle d'une topologie quelconque pas forcément discrète ou grossière. Merci infiniment.
  • Math Coss
    Math Coss
    Ça ne répond pas vraiment à mes deux questions...
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