AC caché?

Mais non.... T'inquiète: le complémentaire de {x} est la réunion des ouverts qui ne contiennent pas x.

On n'associe rien le gars a juste mal rédigé: mieux vaut dire "soit y qui n'est pas x. Il a un voisinage ne contenant pas X....".

On ne choisit pas. Pas plus que tu choisis un transcendant pour montrer que l'ensemble des nombres transcendant n'est pas majoré des lors que tu en connais un par exemple. Pas plus que tu ne choisis un élément dans chaque partie infinie de IR pour prouver qu'une partie de IR qui intersecte toutes les parties infinies de IR à un complémentaire fini. Etc.

@mathematoc: ce que christophe veut dire, c'est que $\{x\}^c = \displaystyle\bigcup\{V \mid V$ ouvert, $x\notin V\}$.

D'u npc: j'ai l'impression que tu "tiens à indicer les réunions". C'est une erreur d'intention.

La réunion d'un ensemble $A$ est juste $\{x\mid \exists y\in A: x\in y\}$. La réunion des ouverts qui ne contiennent pas $x$ est juste $\{t\mid \exists U\in A: t\in U\}$ en notant $A$ l'ensemble des ouverts qui ne contiennent pas $x$.

Il n'y a rien à prouver quand tu supposes que $\forall y\neq x\exists U,$ ouvert $: [y\in U$ et $x\notin U]$. Tout est dit par l'hypothèse.

L'axiome du choix c'est celui qui te permet de dire que si $\forall x\in E\exists y: (x,y)\in S$ alors $\exists f: f$ est une fonction, son domaine est $E$ et $\forall x\in E: (x,f(x))\in S$.

Hélas les profs parlent très mal le LM (ils le comprennent en le lisant, mais ça reste "approximatif" et ils le baragouinent assez grissièrement. Cela entraine le problème que tu as eu face à ton prof (ou livre) et plus généralement que des pavés de 200 pages assez lourdingues, viennent souvent exposer des choses qui se disent proprement en 10 à 15.

L'axiome du choix et la manie d'indicer fait partie de cette culture de la lourdinguitude :-D