Dénombrabilité des Rationnels.
dans Topologie
Bonjour, ça fait 3 ans que j'ai étudié que Q est dénombrable, et que Q est dense dans R. C'est la première fois que je remarque ce coté que je n'arrive pas à comprendre.
Dire que Q est dénombrable ça veut dire qu'on peut trouver une bijection entre Q et N, autre façon de dire qu'on peut prendre les éléments de Q, et dire que celui là est le premier, celui là est le deuxième, Ainsi de suite,
Or Q est dense dans R, pour l'ordre, c'est à dire entre tout réels on peut trouver un rationnel. En particulier entre deux Rationnels, il existe toujours un rationnel, ce qui est contradictoire avec la dénombrabilité de Q.
Je sais que je fais une erreur de raisonnement, je ne sais pas où
Cordialement!!!
Dire que Q est dénombrable ça veut dire qu'on peut trouver une bijection entre Q et N, autre façon de dire qu'on peut prendre les éléments de Q, et dire que celui là est le premier, celui là est le deuxième, Ainsi de suite,
Or Q est dense dans R, pour l'ordre, c'est à dire entre tout réels on peut trouver un rationnel. En particulier entre deux Rationnels, il existe toujours un rationnel, ce qui est contradictoire avec la dénombrabilité de Q.
Je sais que je fais une erreur de raisonnement, je ne sais pas où
Cordialement!!!
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Réponses
Tout simplement la bijection entre $\N$ et $\Q$ ne respecte pas la relation d'ordre; elle n'est ni croissante ni décroissante. En fait, comme $\N$ a un plus petit élément, et comme $\Q$ n'en a pas, il n'existe aucune bijection croissante de $\N$ sur $\Q$.
Exercice: Comme $\Z$ est dénombrable il existe aussi des bijections de $\Z$ sur $\Q.$ Existe-t-il des bijections monotones?
Existe-t-il une bijection croissante entre $\Q \cap [0;+\infty[$ et $\Q$ ?
Existe-t-il une bijection croissante entre $\Q\, \cap \,]0;+\infty[$ et $\Q$ ?