Intervalles ouverts, fermés

Miniportecle · December 2018

Bonjour
J'ai une question assez simple mais j'ai du mal à montrer formellement et rigoureusement.

J'ai deux intervalles ouverts $I_1=]u_1,v_1[$ et $I_2=]u_2,v_2[$, je dois montrer que leur intersection est encore un intervalle ouvert. Pour cela, on me demande de montrer ceci (dans un premier temps) : $$
[a,b]\subset I_1\cup I_2 \subset ]a,b[
$$ où $a=\max\{u_1,u_2\}$ et $b=\min\{v_1,v_2\}$.
Je n'arrive pas à montrer la partie $I_1\cup I_2 \subset ]a,b[$ juste avec les définitions des intervalles ouverts.
Merci pour votre aide.

gerard0 · December 2018

Bonjour.

Il doit y avoir une erreur, la relation
$[a,b]\subset I_1\cup I_2 \subset ]a,b[$
est incohérente : a est dans la premier intervalle, pas dans le dernier.

Peux-tu rectifier ?

Cordialement.

Miniportecle · December 2018

Tout à fait, merci de m'avoir rectifié. Je dois bien montrer
$$]a,b[\subset I_1\cup I_2 \subset [a,b]$$

Dom · December 2018

Après la correction pointée par Gérard, on peut aussi essayer de se débrouiller seul.
Il n'y a pas trente-six façon à considérer pour l'intersection de deux intervalles.
Un dessin permet de les recenser puis on écrit les choses qui permettent de s'éloigner du "on voit que".

Une manière de voir et d'ordonner les réels $u_1, v_1, u_2$ et $v_2$ : on compte plusieurs configurations.
C'est fastidieux mais on y arrive.

Cordialement

Miniportecle · December 2018

@Dom

Il ne veut pas une démonstration avec toutes les configurations, c'est la raison pour laquelle, il nous demande de montrer cette relation-ci avant

GaBuZoMeu · December 2018

Pourquoi parles-tu d'intersection et écris-tu $I_1\cup I_2$ ?

Dom · December 2018

Ok. "Il" désigne certainement quelqu'un d'important ;-) (je plaisante).

Je décèle une erreur car en prenant $]1,2[$ et $]3,4[$, la réunion n'est pas dans $[3,2]$ (qui, au passage désigne l'ensemble vide).

Edit : GaBuZoMeu lève le lièvre à une vitesse de lièvre :-)

Miniportecle · December 2018

Pardonnez-moi. Je suis confus.

Je réécris mon problème depuis le début :

J'ai deux intervalles ouverts $I_1=]u_1,v_1[$ et $I_2=]u_2,v_2[$, je dois montrer que leur intersection est encore un intervalle ouvert. Pour cela, on me demande de montrer ceci (dans un premier temps) : $$
]a,b[ \subset I_1\cap I_2 \subset [a,b]
$$ où $a=\max\{u_1,u_2\}$ et $b=\min\{v_1,v_2\}$.

Il faut utiliser seulement les définitions des intervalles ouverts en évitant de traiter tous les cas. Il faut également éviter les arguments du type "On voit que"

Je suis désolé de cette confusion.

Miniportecle · December 2018

@Dom

"Il" est un professeur dans une ville du sud, connu pour son sang chaud

GaBuZoMeu · December 2018

On commence par traduire $$
x\in I_i \Leftrightarrow (x>u_i \text{ et } x<v_i)\;,
$$ aussi $$
x >\max(u_1,u_2) \Leftrightarrow (x>u_1 \text{ et } x >u_2)\;.$$

Miniportecle · December 2018

@A mon voisin du dessus

Oui, mais une fois qu'on écrit ça, comment montrer qu'un nombre $x<y$ implique $x\le y$ pour montrer la deuxième inclusion (quand on montre que c'est inclus dans un intervalle fermé) ?
Je sais $x < y$ c'est équivalent à dire $x < y$ et $x \ne y$ alors que $x\le y$ est équivalent à $x<y$ ou $x = y$.

GaBuZoMeu · December 2018

M'enfin, Miniportecle ?? Tu demandes comment montrer que $x<y$ entraîne $x<y \text{ ou } x=y$ ??

Miniportecle · December 2018

J'ai écrit tel quel à ma copie de partiel, il m'a mis faux... Je me suis dit que ce n'était sans doute pas rigoureux. Rassuré de savoir que je ne suis pas devenu fou donc.