Topologie & ouverts

Si $E$ est un ensemble et $S$ un ensemble de parties de $E$ qui satisfait les axiomes d'une topologie, alors on dit que $(E,S)$ est un espace topologique. Les éléments de $S$ sont appelés ouverts de cet espace; par définition.

Franchement Christophe, on s'évertue à expliquer à Marco_94 que les notions d'ouverts et de fermés sont toujours en référence à une famille de parties données, et toi tu écris ton message comme s'il y avait une notion "d'approchable" et de "limite" préexistante !

Je redis la même chose autrement. Si on suppose que $S$ est un ensemble de parties de $E$ et rien d'autres, alors l'ensemble $T$ des parties $X$ de $E$ telles que $adh(S,X)\subset X$ est stable par intersections quelconques et réunions finies.

En notant $adh(S,X)$ l'ensemble des éléments $x$ de $E$ tels que toute intersection finie $G$ d'éléments de $S$ qui contient $x$ rencontre $X$.

"Notion de limite" ne contient en rien le fait de mettre une métrique ou de parler de suites. Une topologie est "faite pour" parler de limite.

C'est probablement un peu en dehors de tes préoccupations, mais je te donne le concept général. Attention, les termes ne sont pas officiels, tu ne les trouveras pas dans la littérature.

$<<X$ est une ultralogie sur $E>>$ abrège $<<X$ est un ensemble de couples tels que pour tout $(u,v)\in X: [u$ est un ultrafiltre sur $E$ et $v$ est un élément de $E>>$.

Une fois fixée une ultralogie $X$ sur $E$, tu peux parler de limite en "faisant exprès d'utiliser l'expression" $<<v$ est une limite de l'ultrafiltre $u>>$ à la place de $<<(u,v)\in X>>$.

Tu peux même généraliser un peu le vocabulaire topologique:

$<<X$ est séparée$>>$ est une abréviation de $<<X$ est une fonction$>>$

$<<X$ est quasicompacte$>>$ est une abréviation de $<<\forall u\in \beta(E)\exists v\in E: (u,v)\in X>>$ (autrement dit $<<dom(X)=E>>$)

Il suit que $X$ est compacte ssi $X$ est séparée et quasicompacte ssi $X$ est une application de $\beta(E)$ dans $E$.

Comme exemple et cas particuliers d'ultralogies, tu as .... les topologies. Si $(E,T)$ est un espace topologique,

$$ \{(u,v)\in \beta(E) \times E \mid \forall U\in T:[v\in U\to U\in u]\} $$

est une ultralogie sur $E$ (où $\to$ abrège "implique" et $\beta(Y)$ abrège "ensemble des ultrafiltres sur $Y$)

Précision: $<<W$ est un ultrafiltre sur $E>>$ est une abréviation de $W\subset P(E)$ et pour toute partie finie $F$ de $P(E)$, il existe un élément $a\in E$ tel que :

$$\forall X\in F: W(X) = X(a)$$

où un ensemble est vu comme une fonction définie partout à valeurs dans $\{vrai; faux\}$. Autrement dit, j'aurais pu écrire:

$$\dots \forall X\in F: X\in W = a\in X$$

En français un ultrafiltre sur $E$ est quelque chose qui sauf à en analyser infiniment les éléments est une carte d'identité apparente d'élément de $E$, la carte d'identité de $a\in E$ étant $\{X\subset E\mid a\in X\}$.