Conditions de Cauchy-Riemann

raboteux · December 2018

Bonjour à tous
Voilà un exercice d'analyse complexe sur les conditions de Cauchy-Riemann.

Ma question est presque plus d'ordre topologique donc mes excuses si la section du forum n'est pas la bonne.
La question 2 me pose problème au niveau de la réponse proposée que je ne comprends pas complètement.
En fait sauf erreur d'interprétation, on trouve que les points du plan complexe qui satisfont les équations de Cauchy sont ceux de la droite y=1/2. Mais à partir de là, pourquoi dit-on que l'ensemble trouvé est d'intérieur vide ? Parce que les points trouvés correspondent à un fermé et pas un ouvert ? Je ne suis pas bien à l'aise sur cet aspect ...

Merci par avance pour votre aide !

Math Coss · December 2018

L'intérieur d'une partie $A$ de $\C$, c'est l'ensemble des points $z$ de $A$ autour desquels on peut mettre un petit disque centré en $z$ et contenu dans $A$ : il existe $r>0$ tel que $D(z,r)\subset A$. Une droite ne contient pas de disque de rayon non nul.

raboteux · December 2018

Merci beaucoup !
Une petite confirmation : l'ensemble trouvé est-il bien un fermé du plan complexe ?

Math Coss · December 2018

Oui, par exemple parce que c'est l'image réciproque du fermé $\{1\}$ par l'application $(x,y)\mapsto 2y$, ou bien parce que si $\bigl((x_n,y_n)\bigr)_{n\in\N}$ est une suite de points de cette droite qui converge vers $(a,b)$, la suite $(2y_n)_{n\in\N}$ est constante égale à $1$ donc $2b=1$.

raboteux · December 2018

Merci!

michael · December 2018

Math Coss, une fois n'est pas coutume, c'est moi qui apporte une précision à un de tes messages : "c'est l'image réciproque du fermé $\{1\}$ par l'application $(x,y) \mapsto 2y$ qui est continue".

Math Coss · December 2018

Oups... Absolument !

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