Structure démonstration
Bonjour à tous
Je débute en topologie (avec le cours de L3 UPMC de M. Le Roux) et ne comprends pas un point dans la démonstration de certaines propriétés.
Par exemple, pour démontrer la propriété
Soit (X,d) un espace métrique et (Y,d) un sous-espace métrique de (X,d), les ouverts de (Y,d) sont les intersections des ouverts de (X,d) et de Y.
Je ne comprends pas pourquoi il faut d'abord démontrer que l'intersection d'un ouvert de (X,d) et de Y est un ouvert de Y avant de démontrer que tout ouvert de (Y,d) peut s'écrire comme intersection d'un ouvert de (X,d) et de Y. Si on prouve cette deuxième partie, n'a-t-on pas implicitement montré la première ?
Même interrogation pour d'autres propriétés comme "tout ouvert est une réunion de boules ouvertes" où la démonstration est aussi faite en deux temps...
Merci d'avance !
Je débute en topologie (avec le cours de L3 UPMC de M. Le Roux) et ne comprends pas un point dans la démonstration de certaines propriétés.
Par exemple, pour démontrer la propriété
Soit (X,d) un espace métrique et (Y,d) un sous-espace métrique de (X,d), les ouverts de (Y,d) sont les intersections des ouverts de (X,d) et de Y.
Je ne comprends pas pourquoi il faut d'abord démontrer que l'intersection d'un ouvert de (X,d) et de Y est un ouvert de Y avant de démontrer que tout ouvert de (Y,d) peut s'écrire comme intersection d'un ouvert de (X,d) et de Y. Si on prouve cette deuxième partie, n'a-t-on pas implicitement montré la première ?
Même interrogation pour d'autres propriétés comme "tout ouvert est une réunion de boules ouvertes" où la démonstration est aussi faite en deux temps...
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Réponses
Je m’interroge :
Comme $Y$ est inclus dans $X$, n’a-t-on pas dans certains ouvrages que par définition « les ouverts de $Y$ sont les ouverts de $X$ intersectés avec $Y$ » ?
Je me corrige : cela s’appelle plutôt la définition de la topologie induite.
Ici on démontre donc que les ouverts de $Y$ pour la métrique $d$ (*restreinte à $Y$) sont les ouverts de la topologie induite par celle de $X$ muni de $d$.
*en effet, si l’on est rigoureux, le $d$ de $(X,d)$ n’est pas le même que le $d$ de $(Y,d)$.
Mais pour dom il peut être intéressant de se demander pourquoi l'avoir choisi elle pour s'appeler "topologie induite".
Un fermé de F à une vocation évidente à intersecter E en un fermé induit. Je t'invite à réfléchir à la réciproque: pourquoi dès que tu es fermé dans dans E devrais tu être l'intersection de E avec un fermé de F?
J'avais compris l'esprit de ta question Christophe.
Est-ce un lien avec les applications justement ? Ou n'est-ce que "seulement topologique" ?
Je pense, sans avoir cherché, à une histoire d'image réciproque...
Comme MCoss a donné une des réponses "officielles" qu'on peut faire, consistant à dire la vérité que parmi toutes les topologies, il y en a une, la plus petite possible, rendant continue l'inclusion; j'ai ajouté "pourquoi choisr d'appeler cette "plus petite" la topologie induite?"
En fait ce qui me semblait devoir être signalé, je vais le dire plutôt que jouer aux devinettes, c'est encore et toujours le fondement du "pourquoi" une réunion quelconque et une intersection finie d'ouverts est un ouvert.
Dans le cas présent, cette propriété joue son rôle. On le voit très bien en remarquant que
$$ adh(A) \cap E = adh_{Dans(E)} (A)$$
Comme l'un des inclusions est évidente, je cherchais à faire dire à dom que l'autre est facile aussi en se servant du fait que l'adhérence est une intersection de fermés.
Il est un « topos » me concernant que de dire que je ne te comprends pas la plupart du temps ;-)
Allez, 2018 touche à sa fin, préparons-nous !
Intentionnellement, on souhaite mesurer des "proximités". Mais hélas, vient vite un problème (qui mathématiquement se traduira par la différence entre les espaces uniformisables et ceux qui ne le sont pas). On doit orienter: dans le sens que pour chaque $a$, on doit dire qui est loin de $a$, et que ça ne se ramène pas toujours à mesurer à quel point pour un couple $(x,y)$ le point $x$ est éloigné de $y$.
Soit $E$ un ensemble. On aurait pu dire que $<<S$ est une topologie sur $E>>$ abrège juste $<<S$ ne contient que des parties de $E>>$. Si on n'a pas ce choix c'est juste par maladresse historique.
D'ailleurs, si on l'avait fait, une certaine notion proche de la notion de dimension se serait peut-être vue plus tôt. Par exemple, la topologie usuelle de $[0,1]$ peut être engendrée par un $S$ tel que pour tout recouvrement ar des éléments de $S$, il existe un sous-recouvrement de cardinal au plus 2. De plus c'est général, si $S$ est "compact" alors la topologie engendrée par $S$ l'est aussi (quasicompacte plutôt).
Je pense qu'en m'adressant à toi, le mieux est, non pas, de parler d'ouverts, mais de parler de .. fermés.
Soit donc $S$ un ensemble qui ne contient que des parties de $E$. Alors on parle de $S$-fermés de $E$ comme suit:
1/ Soit $a\in E$ et $X\subset E$. Alors $<<a$ adhère à $X>>$ abrège $<<\forall F$ fini qui ne contient que des éléments de $S$ qui contiennent $a$ comme élément $\cap(F)$ rencontre $X>>$. On peut noter $adh_S(X)$ pour l'ensemble des éléments de $E$ qui adhère à $X$. (Je devrais chaque fois écrire "$S$-adhère").
2/ Pour $X\subset E$, on peut abréger comme suit: $<<X$ est un $S$-fermé de $E>>$ abrège $adh_S(X)\subset X>>$
Voilà, avec ça, tu as tout sans qu'il ne manque rien pour comprendre la topologie. Tu prouveras aisément que les $S$-fermés forment un ensemble stable par intersections quelconques et unions finies.
3/ Dès lors, il est était tentant d'appeler "topologie" ce qu'on a appelé "topologie" car ça économise de parler de "d'intersection finie".
Dans le cas de la topologie induite, ça devient très "visuel": si $F\subset E$, et $A\subset F$, on ne veut pas que des points qui adhèrent à $A$ pour la topologie qu'on mettra sur $F$ n'adhèrent pas à $A$ au sens de celle mise sur $E$. C'est tout!! Le reste est, "par chance?" déductible et ne résulte pas d'une volonté.
Remarque: soit $\phi$ allant de $P(E)$ dans lui-même telle que:
4.1/ \forall X,Y: X\subset Y\to \phi(X)\subset \phi(Y)
4.1/ $ \forall X,Y: \phi(X\cup Y) = \phi(X) \cup \phi(Y)$
4.2/ $\forall X: \phi(\phi(X)) = \phi(X)$.
4.3/ $\forall X: \phi(X) \supset X$
4.4/ $\phi(\emptyset) = \emptyset$
Alors il existe une topologie $T$ sur $E$ telle que $\forall X: \phi(X) = adh_T(X)$. Tu devrais le prouver en exercice.
Les conditions expriment juste ce qu'on attend d'une fonction "adhérence" et elles .. suffisent.
Sinon, pour te résumer les choses, on peut dire que la topologie est un langage qui permet de formaliser l'idée $<<X$ touche $a>>$ quand $X$ est une partie de $E$ et $a\in E$.
Par "toucher", certains aimeront parler de "$a$ est une limite d'éléments de $E$", d'autres les diront autrement.