Espace séparé, système fondamental voisinages
Bonsoir à tous.
Voilà mon sujet du jour.
Soient 0- et 0+ deux ensembles distincts n'appartenant pas à [0,1].
Soient les ensembles X = {0+} U {0-} U ]0,1] et B(x) = { ]x-1/n, x+1/n[ inter ]0,1], n entier non nul}.
B(0+-)={{0+-} U ]0,1/n[, n entier non nul.
J ai montré que
Ba= Us€X B(s) est une base d'ouverts d'une topologie non séparée sur X mais je n'arrive pas à montrer que 0+ n'admet pas de système fondamental de voisinages fermés.
PS. Je sais en revanche dire que B(0+-) est un système fondamental de voisinage de 0+-) mais il n'est pas fermé évidemment.
Qqn Quelqu'un peut m'éclairer.
[Il faut absolument que tu fasses réparer la touche apostrophe ! :-D AD]
Voilà mon sujet du jour.
Soient 0- et 0+ deux ensembles distincts n'appartenant pas à [0,1].
Soient les ensembles X = {0+} U {0-} U ]0,1] et B(x) = { ]x-1/n, x+1/n[ inter ]0,1], n entier non nul}.
B(0+-)={{0+-} U ]0,1/n[, n entier non nul.
J ai montré que
Ba= Us€X B(s) est une base d'ouverts d'une topologie non séparée sur X mais je n'arrive pas à montrer que 0+ n'admet pas de système fondamental de voisinages fermés.
PS. Je sais en revanche dire que B(0+-) est un système fondamental de voisinage de 0+-) mais il n'est pas fermé évidemment.
Qqn Quelqu'un peut m'éclairer.
[Il faut absolument que tu fasses réparer la touche apostrophe ! :-D AD]
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Réponses
L' interprétation que j'ai du concéder est que 0+ et 0- étaient des éléments et non des ensembles. Mais je suis d'accord c'est perturbant.
PS. Je ne voulais pas changer les termes de l'énoncé au cas où. Après je pense que ça va.
Tout voisinage fermé de $O_+$ contient $O_-$, et $\{O_+\}\cup{]0,1[}$ est un voisinage de $O_+$ qui ne contient pas $O_-$.
Après réflexion
Rectification faite tu as raison sur un point le complémentaire n est pas un voisinage de 0+ c'est un ouvert c est juste cela que je voulais utiliser.
Tout voisinage fermé de $O_+$ contient $O_-$ parce que tout élément de $\mathscr B(O_+)$ a une intersection non vide avec tout élément de $\mathscr B(O_-)$.
PS. J'ai modifié mon texte.
Sinon, tu as beau modifier le texte d'un de tes messages précédents, il ne tient toujours pas la route : $1$ est bien sur contenu dans un ouvert de $X$ (ne serait-ce que $X$ lui-même !).
Rappel des remarques de GBZM :
* $\{O_\pm\}$ n'appartient pas à $\mathscr B(O_\pm)$
* $1$ est bien sur contenu dans un ouvert de $X$ (ne serait-ce que $X$ lui-même !).
Ps je suis en troisième et malheureusement on n'apprend pas ça au collège.
$$\mathscr B(O_+)=\{ \{O_+\}\cup {]0,1/n[}\mid n\in \mathbb N\setminus \{0\}\}$$
et donc $\{O_+\}\not\in \mathscr B(O_+)$. Il suffit de lire (et de comprendre ce qu'on lit).
PS, Tu pourrais au moins t'excuser. Enfin, je me garderai bien de répondre à tes questions désormais.
> De plus (même si je ne suis pas spécialiste de
> topologie ) dire que {0+} n'est pas dans B(0+)
> n'est pas juste... car quand n tend vers l'infini
> c'est le cas non ?
Pas besoin d'être spécialiste de topologie pour se rendre compte que ça n'a strictement aucun sens.
Dans la définition de $\mathscr B(O_+)$, n est n'importe quel entier, mais $\frac 1 n \neq 0$. $0_+$ n'est jamais seul, il y a toujours une partie de ]0,1] avec lui.
Cordialement.
A titre personnel, je ne passe même plus une seconde à lire quand je vois $O_+:= \dots$, sauf si je détecte qu'on est en train de m'informer de l'image de $+$ par $O$, ce qui n'est pas le cas ici.
Un écolier (de grande section :-D ) , un collégien, un lycéen, un étudiant, un thésard ou un médaillé Fields, peu importe, on est sur des sujets (la topologie) où il est vraiment contre-productif de venir poser une question sur un forum expert sans reformuler les ubuesqueries des livres. En effet, la plupart du temps ce simple effort de reformulation suffit souvent à résoudre le problème psychologique de qui pose la question.
[small]Je dis ça dans le contexte où on a des ETUDIANTS qui ne sont pas du clairs avec eux-mêmes sur la grammaire et qui interprêtent ces notations un peu comme des messages. Un exemple qui n'a rien à voir, mais je vois cette année une recrudescence, dans mes interros, de $x(9) = 4$ qui ne veulent rien dire, je sais donc que j'ai fait une erreur de pédagogie dans mes cours, quand, utilisant word, j'ai souhaité (et je l'ai bien annoncé clairement pourtant) utiliser l'abréviation $x(A)$ pour dire "abscisse de A" sans avoir le courage de cliquer sur les outils word permettant d'écrire $x_A$. Le fait est qu'avant, je ne voyais pas $x_9$ par exemple de la part des mêmes profils de secondes de lycée dans leur copie.[/small]
La démarche : montrer d'abord que les unions des B(x) sont une base d'ouverts en étudiant les six cas possibles.
Montrer que les B(0+-) sont des systèmes fondamentaux de 0+- .B(0+) rencontrant B(0-) induit que X n'est pas séparé. Et on en conclut que 0+ n'admet pas de SF de voisinages fermés
Ok merci pour ces précisions.
[;-) AD]
rouvre ton message (modifier le message) et barre (si tu le supprimes, il sera rétabli pour la bonne compréhension du fil).
Cordialement.
1/ Prouve que le produit de deux espaces quasi-compacts est quasicompact
2/ Que tout sous-ensemble quasicompact d'un espace séparé est fermé
3/ Que l'image directe par une application continue d'un compact est compacte
4/ Que toute application continue d'un métrique compact dans un métrique est uniformément continue
5/ Que si toute suite d'un métrique admet une valeur d'adhérence alors l'espace est compact
6/ Que tout précompact et complet est compact
Tapés vite fait. Ces 6 exos "presque évidents" pour les habitués sont une initiation plus profonde à manipuler toute la règle du jeu mathématique que d'aller décrire avec des mots savants des découpages bizarres et des recollements d'espaces. Et en 3ième tu as le choix de tes distractions il me semble (ces sujets sont certes sans difficulté, mais préjugé à ne donner qu'à des bac + 3 ou 4 bien souvent)
BOBLE ? intéressé ?