Lipschitz-équivalence de deux distances

Un_compact_ferme · January 2019

bonjour,

je viens vous voir car je n'ai pas eu de réponse sur un autre forum :
https://www.ilemaths.net/sujet-lipschitz-equivalent-de-deux-distances-805149.html

je vous copie mon message :

je travaille sur les équivalences de métriques et il y a un contre exemple que je ne saisis pas.

Voyez ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Équivalence_des_distances

Il est mentionné que : "d3 et d4 sont bornologiquement équivalentes mais ne sont pas Lipschitz-équivalentes"

Deux questions :

comment vérifier l"équivalence bornologique ? Je prends un segment de mon intervalle ( [a,b] ) et je vérifie que l'identité l'envoie sur un segment ? Autrement dit, pour tout A, il existe B, d(x,y) < A \implies d'(x,y) < B et réciproquement pour deux autres constantes?

Moi il me semble que d3 et d4 sont lipschitz équivalent. En faisant des calculs, j'arrive à prouver que en choisissant c= 1/2 et C = 1, on a c * d3 \leq d4 \leq C * d3. Peut être je me trompe ? qu'en pensez vous ?
Auriez vous peut être un autre exemple ou on a bornologiquement équivalent mais pas lipschitz équivalent ?

Voila, je suis plutôt embêté, ne sachant pas quoi faire, est ce que je rate quelque chose?
bien à vous,
le compact fermé.

JLT · January 2019

La page de Wikipedia m'a aussi l'air fausse.

Pour un contre-exemple, il me semble que si on prend $d_5(x,y)=\sqrt{d_1(x,y)}$, alors $d_1$ et $d_5$ sont bornologiquement équivalentes mais pas Lipschitz-équivalentes.

Un_compact_ferme · January 2019

merci pour votre aide.

Est ce que vous pourriez m'en dire plus sur le borlogiquement équivalent ?

est ce que vérifier :

Je prends un segment de mon intervalle ( [a,b] ) et je vérifie que l'identité l'envoie sur un segment ? Autrement dit, pour tout A, il existe B, d(x,y) < A \implies d'(x,y) < B et réciproquement pour deux autres constantes?

c'est suffisant ?

JLT · January 2019

Si je traduis la définition : $(X,d_1)$ et $(X,d_2)$ sont bornologiquement équivalentes si les conditions suivantes sont vérifiées :

1) $\forall \epsilon>0$, $\exists\eta>0$, $\forall x,y\in X$, $d_1(x,y)<\eta\implies d_2(x,y)<\epsilon$.
2) $\forall \epsilon>0$, $\exists\eta>0$, $\forall x,y\in X$, $d_2(x,y)<\eta\implies d_1(x,y)<\epsilon$.
3) Fixons $a\in X$. Alors $\forall R>0$, $\exists S>0$, $\forall x\in X$, $d_1(a,x)<R\implies d_2(a,x)<S$.
4) Fixons $a\in X$. Alors $\forall R>0$, $\exists S>0$, $\forall x\in X$, $d_2(a,x)<R\implies d_1(a,x)<S$.

Un_compact_ferme · January 2019

merci de l'effort pour avoir écrit les 4 props. en latex.

Une dernière question, on a besoin des 4 points ou bien une seule suffirait ? J'avais l'impression qu'on avait simplement besoin de 3) et 4).