Existence d'un compact laissé fixe
Bonjour,
Soit $(E,d)$ un espace métrique compact.
Soit $f$ une application continue de $E$ dans $E$.
Montrer qu'il existe une partie compacte $A$ de $E$ non vide vérifiant $f(A) = A$
Pour cela on nous propose de regarder la suite définie par : $x_0 \in E ,\ x_{n+1} = f(x_n )$
Cette suite admet une valeur d'adhérence, donc $\bigcap_{n} \overline{X_n}$ (où $X_n = \{ x_k \mid k \geq n \} $) est non vide, c'est un fermé comme intersection de fermés, donc c'est un compact.
Mais j'ai du mal à conclure ...
Auriez-vous une piste ?
Soit $(E,d)$ un espace métrique compact.
Soit $f$ une application continue de $E$ dans $E$.
Montrer qu'il existe une partie compacte $A$ de $E$ non vide vérifiant $f(A) = A$
Pour cela on nous propose de regarder la suite définie par : $x_0 \in E ,\ x_{n+1} = f(x_n )$
Cette suite admet une valeur d'adhérence, donc $\bigcap_{n} \overline{X_n}$ (où $X_n = \{ x_k \mid k \geq n \} $) est non vide, c'est un fermé comme intersection de fermés, donc c'est un compact.
Mais j'ai du mal à conclure ...
Auriez-vous une piste ?
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Réponses
Compare d'abord $f(X_n)$ et $X_{n+1}$, puis regarde l'image de l'intersection que tu as dans ton énoncé.
Alors on aurait $f( \cap \overline{X_n}) \subseteq \cap f(\overline{X_n} )= \cap \overline{X_{n+1} }= \cap \overline{X_{n}} $ ?
Et pour l'inclusion réciproque ? J'ai du mal à voir les choses ...
(Précision, ce n'est pas une preuve (mais presque) pour les lecteurs, c'est ce que se diraient au café du commerce des étudiants connaissant les ordinaux et du coup, pour eux, c'est trivial)
Les entiers sont souvent insuffisants car il faut (souvent, parfois?**) continuer d'itérer au delà, c'est dommage cette coupure artificielle dans l'enseignement.
** de moins en moins souvent car les programmes, et ça biaise, font de l'évitement, mais ce n'est pas du tout une bonne excuse. C'est même une motivation "aggravante" me semble-t-il.
Il y a une belle conjecture de T.Martin à ce propos mais je ne m'en souviens pas de l'énoncé formel, j'essaierai de retrouver ça. Et bonne année! (De mon téléphone)