Existence d'un compact laissé fixe

purple
purple
dans Topologie
Bonjour,
Soit $(E,d)$ un espace métrique compact.
Soit $f$ une application continue de $E$ dans $E$.
Montrer qu'il existe une partie compacte $A$ de $E$ non vide vérifiant $f(A) = A$

Pour cela on nous propose de regarder la suite définie par : $x_0 \in E ,\ x_{n+1} = f(x_n )$
Cette suite admet une valeur d'adhérence, donc $\bigcap_{n} \overline{X_n}$ (où $X_n = \{ x_k \mid k \geq n \} $) est non vide, c'est un fermé comme intersection de fermés, donc c'est un compact.
Mais j'ai du mal à conclure ...
Auriez-vous une piste ?

Réponses

  • Magnolia
    Magnolia
    Bonjour

    Compare d'abord $f(X_n)$ et $X_{n+1}$, puis regarde l'image de l'intersection que tu as dans ton énoncé.
  • purple
    purple
    On a clairement $f(X_n) = X_{n+1}$ et cela pour tout entier $n$ d'où $f(\bigcap_{n} X_n) \subseteq \bigcap_{n} X_n$ enfin je ne vois que ça ...
  • marsup
    marsup
    Que dire de l'image de l'adhérence : $f\Big(\overline{X_n}\Big)$ ?
  • purple
    purple
    Par continuité de $f, f(\overline{X_n}) = \overline{f(X_n)}$
    Alors on aurait $f( \cap \overline{X_n}) \subseteq \cap f(\overline{X_n} )= \cap \overline{X_{n+1} }= \cap \overline{X_{n}} $ ?
    Et pour l'inclusion réciproque ? J'ai du mal à voir les choses ...
  • christophe c
    christophe c
    Alalala, c'est là qu'on voit que les ordinaux seraient bienvenus dans l'enseignement. Ici pour l'intuition qu'ils donnent. On part de $E$, puis on prend $f(E), f(f(E)), \dots, X_\omega := \cap_{n\in \N} f^n(E), f(X_\omega), f(f(X_\omega)), \dots$, jusqu'à arriver à $Y$ tel que $Y = f(Y)$. Il sera non vide par compacité.

    (Précision, ce n'est pas une preuve (mais presque) pour les lecteurs, c'est ce que se diraient au café du commerce des étudiants connaissant les ordinaux et du coup, pour eux, c'est trivial)

    Les entiers sont souvent insuffisants car il faut (souvent, parfois?**) continuer d'itérer au delà, c'est dommage cette coupure artificielle dans l'enseignement.

    ** de moins en moins souvent car les programmes, et ça biaise, font de l'évitement, mais ce n'est pas du tout une bonne excuse. C'est même une motivation "aggravante" me semble-t-il.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • JLT
    JLT
    En l'occurrence, $X_\omega=\bigcap_{n\in \N} f^n(E)$ est fixe. En effet, on a évidemment $f(X_\omega)\subset X_\omega$. Supposons que l'inclusion réciproque soit fausse. Alors il existe $x\in X_\omega$ tel que $x\notin f(X_\omega)$. Soit $K$ un voisinage compact de $x$ dans l'espace topologique $X_\omega$ ne rencontrant pas $f(X_\omega)$ ($K$ existe car tout espace compact est localement compact). Alors $X_\omega\cap f^{-1}(K)=\emptyset$, donc par compacité il existe $n$ tel que $f^n(E)\cap f^{-1}(K)=\emptyset$. Or, $K\subset X_\omega\subset f^{n+1}(E)$, donc il existe $y\in E$ tel que $x=f^{n+1}(y)$ et on a $f^n(y)\in f^n(E)\cap f^{-1}(K)$, contradiction.
  • christophe c
    christophe c
    Oui bravo pour cette remarque mais je précise que mon "message politique" me paraît rester pertinent. IN ne suffit pas toujours loin de la. Et même quand il suffit il peut être aidant de savoir déjà pourquoi le résultat est vrai PUIS de chercher si l'ordinal stabilisant est IN dans un second temps.

    Il y a une belle conjecture de T.Martin à ce propos mais je ne m'en souviens pas de l'énoncé formel, j'essaierai de retrouver ça. Et bonne année! (De mon téléphone)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 3

AlainLyon +2 Invités