Intérieur d'un Banach

Bonsoir
Je me posais la question suivante.

L'intérieur d'un espace de Banach peut-il être vide ? Et comment le démontrer ?

Je me pose cette question car la forme la plus utilisée du lemme de Baire est celle qui affirme que si un espace métrique complet non vide s'écrit comme union de fermés, alors l'un des fermés est d'intérieur non vide.
Mais pour moi, le lemme de Baire dit que si l'intérieur de chaque élément d'une suite de fermés est vide, alors l'union des fermés est d'intérieur vide, et donc la contraposée dirait que si l'union est d'intérieur non vide, l'un des fermés est non vide. Ainsi donc, espace métrique complet implique d'intérieur non vide ? Comment le montrer ?

Merci à ceux qui auront le courage de me lire, et de réfléchir avec moi !