Point fixe

christophe c
christophe c
dans Topologie
Pour tout avouer, vu mon âge, il faudrait que je fasse un peu de ménage dans les choses que je passe mon temps à admettre comme s'ils étaient routiniers alors que je n'ai jamais fait l'effort de les prouver. Voici un exemple, mais j'espère me tenir à cette ligne de tous finir par les publier pour faire un peu le ménage.

Est-il vrai qu'il est trivial que [Brouwer => P] ? En notant $P$ l'énoncé suivant:

Pour tout entier $n>1$, pour tout application $f$ de $[0,1]^n\to [0,1]^n$, il existe $a\in [0,1]^n$ tel que pour tout $U$ ouvert contenant $a: a\in \phi(U)$, où :

$$\phi(U):=EnveloppeConvexe(\{ImDirectePar(f,U)\})$$

Pour tout avouer, je ne sais même pas "officiellement" si $P$ est vrai, cela doit faire 30ans que je l'admets comme si c'était une conséquence triviale de Brouwer. (Peut-être l'ai-je prouvé un jour et ai-je oublié, je ne peux plus savoir).
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi

Réponses

  • Cyrano
    Cyrano
    J'avoue ne pas comprendre, cela me semble trivial.
    Par Brouwer, il existe $a\in [0,1]^n$ tel que $f(a)=a.$ Soit $U$ un ouvert de $[0,1]^n$ contenant $a$. Alors $a = f(a) \in f(U).$ Or trivialement $f(U) \subset \phi(U)$ donc $a \in \phi(U).$

    Je ne vois pas pourquoi tu demandes l'enveloppe convexe.
    Ou alors je ne comprends pas ce que tu appelles image directe, pour moi il s'agit de $f(U)$.
  • Poirot
    Poirot
    Il manque le mot "continue" quelque part j'imagine.
  • Cyrano
    Cyrano
    Bien vu Poirot. Du coup je comprends l'utilité de l'enveloppe convexe.
  • christophe c
    christophe c
    Pardon pour mon retard et merci d'avoir regardé ce fil. L'absence de "continue"est comme signalé par Poirot TOTALEMENT VOLONTAIRE!
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  • JLT
    JLT
    Ne faut il pas prendre l'adhérence de l'enveloppe convexe ? Par exemple pour n=2, si ABCD est le carré, on prend f(A)=D et f(M)=(A+M)/2 pour tout M différent de A.
  • christophe c
    christophe c
    Grand merci à toi JLT bien entendu j'aurais dû ajouter "adhérence de". Ton contre exemple marche aussi en dim 1 avec x|----> if x =0 then 1 else x/2.
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  • Phare
    Phare
    @cc
    Ce n'est pas parce que JLT a un robot pour avatar qu'il faut pour autant lui parler en langage informatique! :D
  • Cyrano
    Cyrano
    Connais-tu le produit de convolution Christophe ?

    Je pense qu'en approchant $f$ par convolution, en appliquant le théorème de Brouwer aux approximations continues puis en passant à la limite, cela peut fonctionner.
  • JLT
    JLT
    Le problème c'est qu'on ne peut pas utiliser la convolution si $f$ n'est pas mesurable. Et même si $f$ est mesurable, la démonstration ne me paraît pas triviale (si le résultat est vrai).
  • christophe c
    christophe c
    Merci pour vos idées. Je viens de me remémorer pourquoi je vivais avec le sentiment que c'etait juste une routine: on prend g qui à chaque x associe la projection de x sur le convexe fermé évoqué.

    En fait je n'ai jamais cherché à prouver que g est continue estimant par un mélange snobisme et de paresse que c'était "à laisser en exercice aux lecteurs" :-D. Et puis la vie passe... Et parfois on regrette..
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  • JLT
    JLT
    La fonction $g$ n'est pas continue en général, par exemple en dimension $1$ pour $f(x)=0$ si $x<1/2$ et $f(x)=1$ si $x=1$.
  • JLT
    JLT
    Voici une démonstration pour $f$ mesurable. Pour tout $k>0$ entier, soit $f_k(x)$ la moyenne de $f$ sur la boule de centre $x$ et de rayon $\frac{1}{k}$. Alors $f_k$ est continue. D'après Brouwer, il existe un point fixe $x_k$. Soit $x$ une valeur d'adhérence de $(x_k)$. Soit $\epsilon>0$. Il existe $k>\frac{2}{\epsilon}$ tel que $d(x,x_k)<\frac{\epsilon}{2}$. Alors $x_k$ appartient à l'adhérence de l'enveloppe convexe de $f(B(x_k,\frac{1}{k}))$, qui est incluse dans l'adhérence de l'enveloppe convexe de $f(B(x,\epsilon))$, donc $x$ est à une distance au plus $d(x,x_k)$ de l'adhérence de l'enveloppe convexe de $f(B(x,\epsilon))$. Comme $k$ est aussi grand que l'on veut, ceci prouve que $x$ est dans l'adhérence de l'enveloppe convexe de $f(B(x,\epsilon))$.
  • christophe c
    christophe c
    Merci beaucoup JLT. Se peut-il que g ne soit pas mesurable?
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  • JLT
    JLT
    Là je ne sais pas. J'aurais tendance à croire que $g$ est mesurable mais ça n'a pas l'air évident à démontrer. Si c'est le cas, j'imagine qu'on peut appliquer ensuite la démonstration en prenant $g$ à la place de $f$.
  • christophe c
    christophe c
    Il me parait effectivement difficile de construire avec l'axiome du choix et même de manière tordue une f telle que g ne soit pas mesurable, mais je suis un peu manquant de dispo. Et oui, c'était ma stratégie (pour ta dernière phrase) envisagée pour quand j'aurais le temps.

    Je fais une remarque complètement HS à propos de ton argument de floutage ***. J'invite les chez qui savent programmer (ça prend 20mn max) à flouter des images, car c'est très agréable. Dans le passé, je l'ai fait plein de fois et je ne m'ensuis pas lassé. Depuis le 64bits, j'ai un peu de mal à prendre le temps de me renouveler en EDI et compilateurs "à la delphi", avec prise de commandes de l'écran, mais j'espère recommencer.

    *** Le tableau des niveaux de rouge (faire idem pour le bleu et les vert... ou pas!!!) T est changé en :
    NewT(a,b) := moyenne des T(a+i,b+j), pour (i,j) variant dans (par exemple) $\Z\cap [-5;5]$.
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