Point fixe
dans Topologie
Pour tout avouer, vu mon âge, il faudrait que je fasse un peu de ménage dans les choses que je passe mon temps à admettre comme s'ils étaient routiniers alors que je n'ai jamais fait l'effort de les prouver. Voici un exemple, mais j'espère me tenir à cette ligne de tous finir par les publier pour faire un peu le ménage.
Est-il vrai qu'il est trivial que [Brouwer => P] ? En notant $P$ l'énoncé suivant:
Pour tout entier $n>1$, pour tout application $f$ de $[0,1]^n\to [0,1]^n$, il existe $a\in [0,1]^n$ tel que pour tout $U$ ouvert contenant $a: a\in \phi(U)$, où :
$$\phi(U):=EnveloppeConvexe(\{ImDirectePar(f,U)\})$$
Pour tout avouer, je ne sais même pas "officiellement" si $P$ est vrai, cela doit faire 30ans que je l'admets comme si c'était une conséquence triviale de Brouwer. (Peut-être l'ai-je prouvé un jour et ai-je oublié, je ne peux plus savoir).
Est-il vrai qu'il est trivial que [Brouwer => P] ? En notant $P$ l'énoncé suivant:
Pour tout entier $n>1$, pour tout application $f$ de $[0,1]^n\to [0,1]^n$, il existe $a\in [0,1]^n$ tel que pour tout $U$ ouvert contenant $a: a\in \phi(U)$, où :
$$\phi(U):=EnveloppeConvexe(\{ImDirectePar(f,U)\})$$
Pour tout avouer, je ne sais même pas "officiellement" si $P$ est vrai, cela doit faire 30ans que je l'admets comme si c'était une conséquence triviale de Brouwer. (Peut-être l'ai-je prouvé un jour et ai-je oublié, je ne peux plus savoir).
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Réponses
Par Brouwer, il existe $a\in [0,1]^n$ tel que $f(a)=a.$ Soit $U$ un ouvert de $[0,1]^n$ contenant $a$. Alors $a = f(a) \in f(U).$ Or trivialement $f(U) \subset \phi(U)$ donc $a \in \phi(U).$
Je ne vois pas pourquoi tu demandes l'enveloppe convexe.
Ou alors je ne comprends pas ce que tu appelles image directe, pour moi il s'agit de $f(U)$.
Ce n'est pas parce que JLT a un robot pour avatar qu'il faut pour autant lui parler en langage informatique!
Je pense qu'en approchant $f$ par convolution, en appliquant le théorème de Brouwer aux approximations continues puis en passant à la limite, cela peut fonctionner.
En fait je n'ai jamais cherché à prouver que g est continue estimant par un mélange snobisme et de paresse que c'était "à laisser en exercice aux lecteurs" :-D. Et puis la vie passe... Et parfois on regrette..
Je fais une remarque complètement HS à propos de ton argument de floutage ***. J'invite les chez qui savent programmer (ça prend 20mn max) à flouter des images, car c'est très agréable. Dans le passé, je l'ai fait plein de fois et je ne m'ensuis pas lassé. Depuis le 64bits, j'ai un peu de mal à prendre le temps de me renouveler en EDI et compilateurs "à la delphi", avec prise de commandes de l'écran, mais j'espère recommencer.
*** Le tableau des niveaux de rouge (faire idem pour le bleu et les vert... ou pas!!!) T est changé en :
NewT(a,b) := moyenne des T(a+i,b+j), pour (i,j) variant dans (par exemple) $\Z\cap [-5;5]$.