Dimension finie et normes
Bonjour, j'aimerais savoir si vous connaîtriez une démonstration "directe" du résultat suivant.
Soit $(E,||.||)$ un $K$-espace vectoriel normé.
Toutes les normes sur $E$ sont équivalentes $ \Rightarrow E$ est de dimension finie.
J'entends par "directe" une démonstration ne passant pas par le fait que toutes les formes linéaires sur $E$ sont continues (celle que je connais passe par là).
Merci d'avance.
Soit $(E,||.||)$ un $K$-espace vectoriel normé.
Toutes les normes sur $E$ sont équivalentes $ \Rightarrow E$ est de dimension finie.
J'entends par "directe" une démonstration ne passant pas par le fait que toutes les formes linéaires sur $E$ sont continues (celle que je connais passe par là).
Merci d'avance.
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Réponses
En fait je ne comprends pas comment on voit que ces deux normes ne sont pas équivalentes ? :-(
$\|x_n\|_1=\left\|\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n} e_i\right\|_1=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}=1 \to 1$
$\|x_n\|_\infty=\|\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}
e_i\|_\infty=\max_{1\leq i\leq n} |\frac{1}{n}| = 1/n \to 0.$
Edit : J'ai trouvé une erreur ( confusion i et n) il m'en reste d'autre.
J'ai compris pourquoi la norme infini converge vers 0 mais je ne comprends pas pourquoi la norme 1 diverge.
J'ai dit n'importe quoi, désolé. Le passage "la norme 1 diverge" m'a induit en erreur :-D
@tout le monde : Merci pour les explications :-)
Ici manifestement $\Vert x_n \Vert_1$ ne converge pas vers $0$, ce qui veut dire que $x_n$ ne converge pas vers $0$ pour la norme $1$ par définition de la limite.