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Une composante connexe est un fermé

Envoyé par topo29 
Une composante connexe est un fermé
il y a huit mois
Salut
par définition la composante connexe de $x,$ $C_x=\bigcup_{x\in C} C $ où $C$ est connexe, et je sais que l'adhérence d'un connexe est un connexe. Mais moi je n'arrive pas à voir pourquoi $\overline{C_x}\subset C_x$ ?

Merci.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Composante connexe est un fermé
il y a huit mois
La composante connexe de $x$ est la plus grande partie connexe contenant $x$ ...
Re: Composante connexe est un fermé
il y a huit mois
On dit $C_x$ est le plus grand connexe contenant x

et $\overline{C_x}$ est un connexe contenant x donc $\overline{C_x}\subset C_x$ c'est tout ?
Re: Composante connexe est un fermé
il y a huit mois
avatar
Si tu n'es pas convaincu c'est qu'il faut aller plus loin, sinon tu joues aux devinettes ...

La clef est de comprendre ce que veut dire plus grande partie connexe dans ce contexte, et de voir pourquoi la composante connexe de $x$ est en fait la plus grande partie connexe qui contient $x$ vu ta définition.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par skyffer3.
Re: Composante connexe est un fermé
il y a huit mois
Je suis convaincu merci, s'il vous plaît dans le même thème comment démontrer ceci et ou intervient $J$ fini ?

Si $X=\bigcup_{j\in J} F_j$ où $\{F_j\}_{j\in J}$ sont des fermés connexes deux à deux disjoints, alors les $F_j$ sont les composantes connexe de $X$.

Merci



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Composante connexe est un fermé
il y a huit mois
Il manque une hypothèses : les $F_j$ sont tous non vides.
Tu peux démontrer :
Si $A\subset X$ est un ouvert-fermé de $X$ qui contient $x$, alors la composante connexe de $x$ dans $X$ est contenue dans $A$.
Re: Composante connexe est un fermé
il y a huit mois
Quelle est la relation avec les $(F_j)$ je ne comprends pas l'idée du démarrage
Re: Composante connexe est un fermé
il y a huit mois
Ne vois-tu pas un rapport entre les $F_j$ et des ouverts-fermés de $X$ ?
Re: Une composante connexe est un fermé
il y a huit mois
avatar
Il faut que tu démontres que les $F_j$ sont aussi des ouverts. C'est là qu'interviendra la finitude de $J$, et bien sûr le caractère disjoint.
Re: Une composante connexe est un fermé
il y a huit mois
Quelques précisions:

1/ une union de connexes qui contiennent tous un même élément $a$ est un connexe.

2/ Si A est connexe et $A\subset B\subset adh(A)$ alors $B$ est connexe

Une fois que tu auras réglé tes soucis précédents, revérifie que tu te sens capable de prouver seul 1 et 2 qui ont été "admis" lors de la discussion précédente.

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