Salut
par définition la composante connexe de $x,$ $C_x=\bigcup_{x\in C} C $ où $C$ est connexe, et je sais que l'adhérence d'un connexe est un connexe. Mais moi je n'arrive pas à voir pourquoi $\overline{C_x}\subset C_x$ ?
Si tu n'es pas convaincu c'est qu'il faut aller plus loin, sinon tu joues aux devinettes ...
La clef est de comprendre ce que veut dire plus grande partie connexe dans ce contexte, et de voir pourquoi la composante connexe de $x$ est en fait la plus grande partie connexe qui contient $x$ vu ta définition.
Il manque une hypothèses : les $F_j$ sont tous non vides.
Tu peux démontrer :
Si $A\subset X$ est un ouvert-fermé de $X$ qui contient $x$, alors la composante connexe de $x$ dans $X$ est contenue dans $A$.
1/ une union de connexes qui contiennent tous un même élément $a$ est un connexe.
2/ Si A est connexe et $A\subset B\subset adh(A)$ alors $B$ est connexe
Une fois que tu auras réglé tes soucis précédents, revérifie que tu te sens capable de prouver seul 1 et 2 qui ont été "admis" lors de la discussion précédente.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
et $\overline{C_x}$ est un connexe contenant x donc $\overline{C_x}\subset C_x$ c'est tout ?
La clef est de comprendre ce que veut dire plus grande partie connexe dans ce contexte, et de voir pourquoi la composante connexe de $x$ est en fait la plus grande partie connexe qui contient $x$ vu ta définition.
Si $X=\bigcup_{j\in J} F_j$ où $\{F_j\}_{j\in J}$ sont des fermés connexes deux à deux disjoints, alors les $F_j$ sont les composantes connexe de $X$.
Merci
Tu peux démontrer :
Si $A\subset X$ est un ouvert-fermé de $X$ qui contient $x$, alors la composante connexe de $x$ dans $X$ est contenue dans $A$.
1/ une union de connexes qui contiennent tous un même élément $a$ est un connexe.
2/ Si A est connexe et $A\subset B\subset adh(A)$ alors $B$ est connexe
Une fois que tu auras réglé tes soucis précédents, revérifie que tu te sens capable de prouver seul 1 et 2 qui ont été "admis" lors de la discussion précédente.