Une composante connexe est un fermé

topo29
topo29
dans Topologie
Salut
par définition la composante connexe de $x,$ $C_x=\bigcup_{x\in C} C $ où $C$ est connexe, et je sais que l'adhérence d'un connexe est un connexe. Mais moi je n'arrive pas à voir pourquoi $\overline{C_x}\subset C_x$ ?

Merci.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La composante connexe de $x$ est la plus grande partie connexe contenant $x$ ...
  • topo29
    topo29
    On dit $C_x$ est le plus grand connexe contenant x

    et $\overline{C_x}$ est un connexe contenant x donc $\overline{C_x}\subset C_x$ c'est tout ?
  • Chalk
    Chalk
    Si tu n'es pas convaincu c'est qu'il faut aller plus loin, sinon tu joues aux devinettes ...

    La clef est de comprendre ce que veut dire plus grande partie connexe dans ce contexte, et de voir pourquoi la composante connexe de $x$ est en fait la plus grande partie connexe qui contient $x$ vu ta définition.
  • topo29
    topo29
    Je suis convaincu merci, s'il vous plaît dans le même thème comment démontrer ceci et ou intervient $J$ fini ?

    Si $X=\bigcup_{j\in J} F_j$ où $\{F_j\}_{j\in J}$ sont des fermés connexes deux à deux disjoints, alors les $F_j$ sont les composantes connexe de $X$.

    Merci
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Il manque une hypothèses : les $F_j$ sont tous non vides.
    Tu peux démontrer :
    Si $A\subset X$ est un ouvert-fermé de $X$ qui contient $x$, alors la composante connexe de $x$ dans $X$ est contenue dans $A$.
  • topo29
    topo29
    Quelle est la relation avec les $(F_j)$ je ne comprends pas l'idée du démarrage
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ne vois-tu pas un rapport entre les $F_j$ et des ouverts-fermés de $X$ ?
  • Chalk
    Chalk
    Il faut que tu démontres que les $F_j$ sont aussi des ouverts. C'est là qu'interviendra la finitude de $J$, et bien sûr le caractère disjoint.
  • christophe c
    christophe c
    Quelques précisions:

    1/ une union de connexes qui contiennent tous un même élément $a$ est un connexe.

    2/ Si A est connexe et $A\subset B\subset adh(A)$ alors $B$ est connexe

    Une fois que tu auras réglé tes soucis précédents, revérifie que tu te sens capable de prouver seul 1 et 2 qui ont été "admis" lors de la discussion précédente.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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