Ouvert d’un espace métrique
Bonjour, j’aurais une question consernant l’ensemble vide. La définition d’ouvert que j’ai : Soit (E,d) un espace métrique et A une partie de E. On dit que A est un ouvert si pour tout Xo dans A il existe epsilon>0 tel que tout point x de E vérifiant d(Xo,x)<epsilon appartienne à A. La question est de montrer que l’ensemble vide est un ouvert. En regardant les autres posts du forum sur ce sujet j’ai vu une réponse qui se répétait : toute proposition qui s’écrit pour tout x dans A, P(x) est vraie si A est l’ensemble vide. Je suis d’accord pour dire que la relation (x appartient à ensemble vide implique P(x) ) est vraie, car on sait que y€{x|P(x)}==>P(y) est vraie, et si on défini la partie vide d’un ensemble X comme étant {x dans X | x différent de x} alors on trouve ( y appartient à partie vide de X implique y différent de y) vraie, et de la on peut dire que y appartient à partie vide de X est une relation fausse. (Ou plutôt peut être qu’on l’impose ? on dit que par définition y appartient à partie vide est fausse pour satisfaire l’implication précédente, car si (A ou est vraie, on ne peut pas directement dire que A vraie ou B vraie, je ne sais pas trop et j’aimerais bien un eclairessissement sur ça aussi) bref pour en revenir à la question initiale, la définition d’ouvert c’est pour tout x dans A, P(x) et non pas x appartient à A implique P(x), d’où ma question : avons nous vraiment le droit d’utiliser le fait que x dans vide soit fausse ? Si oui pourquoi ? Ou peut être la définition d’ouvert n’est pas pour tout x, P(x) mais x dans A implique P(x) ?
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Réponses
Tu compliques une situation évidente : Si P est une propriété, $\forall x \in \emptyset, P(x)$ est vraie puisqu'on ne peut lui trouver un contre- exemple. Inutile d'aller chercher une implication.
"avons nous vraiment le droit d’utiliser le fait que x dans vide soit fausse ?" Heu ... la définition de l'ensemble vide n'est elle pas $\neg ( \exists x \in \emptyset)$ ?
Pour des explications plus basiques en logique, en particulier ta définition de l'ensemble vide et ses conséquences, pose ta question logique dans le forum logique, Christophe te répondra. Pour moi, je suis resté à de l'intuitif.
Cordialement.
Ça doit répondre à ta question (bien que difficile à lire vu la mise en forme) :
@gerard0: christophe peut répondre ici aussi, il a accès à cette rubrique de ce que j'ai vu.
"$\forall x \in A, P(x)$" est l'abréviation de $\forall x \left [x \in A \Rightarrow P(x)\right ]$.
Ces énoncés formels disent exactement la même chose.
(EDIT: c'est ce qu'a dit skyffer3 plus haut).