Montrer qu’un certain espace quotient est T2

grothenbiete · January 2019

Bonjour,

Je cherche comme un débile depuis deux heures, pourtant j’ai l’impression que c’est vraiment « facile », je ne demande pas de réponses mais juste des indices.

Je prends (X,T) un espace topologique, je prends Rs l’ensemble des relations d’équivalence R pour lesquelles les espaces quotients X/R sont séparés au sens T2 pour la topologie quotient usuelle.
Je veux montrer que l’intersection de Rs (ou dit autrement l’intersection de tous les éléments de Rs) est une relation d’équivalence (ça c’est ok...) telle que l’espace quotient pour cette relation est bien séparé (T2) (toujours pour la topo usuelle).

Je remarque que la topologie pour cet espace est l’ensemble des U tel qu’il existe un ouvert O de T tel que l’ensemble des {y, l’intersection des classes de y pour toutes les relations de Rs est un élément de U} = O ... je remarque aussi que la classe de x pour cette relation est l’intersection des classes de x pour toutes les relations de Rs.
Mais en dehors de ces remarques un peu évidentes, je ne vois pas, je prends deux classes distinctes, je suppose que l’espace n’est pas T2 et je cherche une contradiction, mais le fait que les ouverts de cet espace n’aient vraiment aucun rapport avec les ouverts des autres espaces quotients me perturbe, les éléments des ouverts donc les classes ok mais la gueule des ouverts... j’ai bien des « idées » un peu foireuses de ce à quoi ça pourrait ressembler mais je n’arrive pas à démarrer une réflexion sérieuse....

Je sais que c’est con que c’est un pont aux ânes de topologie algébrique pour ceux qui ont oublié trop de topo générale en tout cas c’est comme ça que ça nous est présenté mais je sèche .....

Merci d’avance

Édit2: ah et je remarque aussi que l’espace en question est T1 mais T2 je ne vois pas.

Edit3: désolé d’éditer beaucoup mais au moins ça me permet de dire où j’en suis. J’ai perdu je sais pas combien de temps à essayer de caractériser les ouverts de cette relation mais déjà en cherchant un peu différemment je vois aussi que la relation en question est fermée (car intersection de relations séparées donc fermées (sous-entendu le graphe fermé))

Donc pour l’instant j’ai glané T1 et relation fermée.

Blacksheep1 · January 2019

Bonsoir.

Soient x et y dans X/Rs distincts.
Alors par définition de Rs il existe R rendant le quotient séparé telle que non(xRy).
On considère la projection canonique de X sur X/R.
Elle induit une application continue surjective de X/Rs sur X/R.
etc.

christophe c · January 2019

Les ouverts de $X/R$ sont les ensembles de classes dont la réunion est un ouvert de $X$. Donc ta demande est évidente, mais je me demande si la présentation qui suit ne t'aiderait pas.

Plutôt que de quotienter (ce qui est formidablement laid pour ce qui concerne la topologie), appelons "topologie pseudo séparée sur $E$ une topologie $T$ telle que pour tous $x,y$ dans $E$, si $\{U\in T \mid x\in U\}\neq \{U\in T\mid y\in U\}$ alors il existe des éléments disjoints de $T$ que je note $U,V$ tels que $(x,y)\in U\times V$.

Si tu pars d'un espace $(E,T)$ quelconque, et que $L$ est un ensemble de topologies sur $E$ pseudo-séparées incluses dans $T$, alors la topologie engendrée par la réunion de $L$ est elle-même pseudo-séparée. Tu n'as pas besoin de les prendre toute.

Les passages au quotient dans les maths sont souvent "assez lourds", je ne sais pourquoi c'est à la mode, mais en tout cas, quand tu as une relation d'équivalence $R$ sur $E$, qui par ailleurs est muni d'une topologie $T$, et bien, plutôt que de regarder $E/T$, il est à mon avis (subjectivité de ma part) plus léger et chansonnant de regarder la partie de $T$ (qui est une topologie) formée des ouverts stables par $R$.

A noter que ces phénomènes valent pour des parties quelconques de $P(E)$ et pas seulement des parties "qui sont des topologies".

grothenbiete · March 2019

Désolé du retard c’est malpoli de ma part. J’ai honte mais oui blacksheep j’ai compris peu après effectivement qu’il suffisait « en mot savant » de voir que la projection était constante sur les classes et se factorisait en une application continue etc...
Comme dit CC c’est vrai que c’est évident... merci

Montrer qu’un certain espace quotient est T2

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