Bonjour,
C'est peut-être une question con, mais est-ce qu'il existe une norme plus fine que la norme de la convergence uniforme, sur $C^0([a,b], \mathbb{R})$ par exemple ?
Merci.
PS. Question subsidiaire : est-ce que c'est un maximum pour la relation de préordre de finesse ?
Réponses
Soit $f \in C^0([a;b])$ une fonction, on peut décomposer de façon unique $f$ selon la base $(f_i)$ : $f= \sum \alpha_i f_i$ et tous les $\alpha_i$ sauf un nombre fini sont nuls. On définit alors $\|f\|_*= \max \{ \max \{ |\alpha_i| : i\in I\backslash J \} ; \max \{ n|\alpha_{j_n}| : n\in \mathbb N^* \} \}$, il s'agit bien d'une norme et on remarque que la suite $(f_{j_n})_n$ vérifie $\|f_{j_n}\|_\infty =1$ et $\|f_{j_n}\|_*=n $.
On peut donc construire des normes telles que $\|\cdot\|_*\leq C \|\cdot\|_\infty$ n'ait lieu pour aucun réel $C$. Par contre vu comment la norme $\| \cdot \|_*$ est construite il va être difficile de montrer qu'elle est strictement plus fine que $\|\cdot \|_\infty $. En choisissant bien la base des $f_i$ on peut même montrer que cette norme ne sera pas plus fine. Ca répond à la question bonus par un non (si je l'ai bien comprise) mais pas à la première question.
D'ailleurs on pourrait se poser la question suivante : Soit $(B, \|\cdot\|)$ un Banach, existe-t-il une norme strictement plus fine sur ce Banach ?
Je pense qu'on peut trouver un argument général pour dire qu'elle est automatiquement strictement plus fine; mais plus simplement on peut trouver une base pour laquelle on peut voir facilement que c'est le cas. En effet si tu pars d'une base $(f_i)_{i\in I}$ dont tous les éléments sont des norme CVU $1$; alors en extrayant une sous-partie indexée par $\N$, disons $f_n, n \in \N$ (c'est possible car l'espace n'est pas de dimension finie); et en posant $g_n := \frac{1}{2^n}f_n$, puis en remplaçant les $f_n$ par les $g_n$ dans $(f_i)$ on obtient à nouveau une base, de norme associée $N$; et alors $||g_n||_\infty = \frac{1}{2^n}$, $N(g_n) = 1$ ; donc on ne peut pas avoir de $C$ tel que $N \leq C||-||_\infty$, alors qu'on a $||-||_\infty \leq N$: $N$ est strictement plus fine que $||-||_\infty$.
Edit : grillé
EDIT 2 : ce que j'ai dit est faux, youhou
EDIT 3 : mais pas si faux que ça; il suffisait de remplacer "infinie" par "1"
Voici les changements à effectuer : à partir d'une base, on a une norme $1$ associée, qui est automatiquement plus fine que $||-||_\infty$, si la base est bornée pour $||-||_\infty$. Cette preuve marchera d'ailleurs pour n'importe quel Banach : je pars d'une base $(e_i)$ de norme majorée, disons par $1$; je remplace une sous-famille dénombrable $(e_n)$ par $f_n=\frac{1}{2^n}e_n$, je note $N$ la norme $1$ associée; alors elle est plus fine que $||-||$, et strictement, car $N(f_n) = 1$, $||f_n||_\infty = \frac{1}{2^n}$
Edit : Bon je m'emmêle les pinceaux, je ne suis plus sûr de ce que j'ai dit. Je vais arrêter de poster avant que ça soit clair dans ma tête :-D
@Poirot Oui désolé :-D
Mais dites-moi, il y a de l'axiome du choix là-dessous. C'est possible de faire sans ? [size=x-small]ouais je suis chiant[/size]
En effet je prends ma base $(e_i)$ qui définit la norme $1$ $N$; je prends une sous-famille dénombrable $(e_n)$; puis une série absolument convergente de terme général $a_n$ tel que $(a_n)$ n'est pas stationnaire. Alors la suite $(\displaystyle\sum_{k=0}^na_ke_k)$ est de Cauchy pour $N$, mais ne converge pas pour $N$: facile à vérifier, je le laisse "en exercice".
Un essai infructueux sans base algébrique : Une norme est entièrement déterminée par sa sphère unité, ou de façon équivalente par sa boule unité fermée. Pour qu'un ensemble fermé $A$ soit la boule unité fermée d'une norme il faut et il suffit que l'on ait :
1) $A$ est symétrique par rapport à $0$.
2) $A$ est convexe.
3) Pour tout $x\neq 0$ il existe un réel $\alpha>0$ tel que $\alpha x \notin A$ et $x/\alpha \in A$.
La propriété 2) est reliée à l'inégalité triangulaire, 1) est reliée à la propriété $\|\lambda x \|=|\lambda|\|x\|$ et 3) sert à ce que la norme soit bien finie et définie.
Soit donc $A$ un fermé vérifiant les propriétés 1), 2) et 3), on note $\|\cdot \|_A$ la norme associée. Si $A$ est inclus dans $\overline B(0;1)_{\infty}$ alors on a $\|\cdot \|_\infty \geq \|\cdot\|_A$. De plus, si $\alpha \overline B(0;1)_{\infty}$ n'est contenu dans $A$ pour aucun $\alpha >0$ alors $\|\cdot\|_A$ est strictement plus fine (non comparable) que la norme de la convergence uniforme. Cette condition est vérifiée si l'ensemble $A$ est compact (pour la norme infinie), reste à savoir si un compact $A$ satisfaisant les propriétés 1), 2) et 3) existe.
Le théorème d'Arzelà-Ascoli nous dit que la famille de fonctions $A$ doit être équicontinue et ponctuellement bornée. En particulier pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un réel $\eta(\varepsilon) >0$ tel que pour tout $f\in A$ on ait $|x-a|<\eta(\varepsilon)\implies |f(x)-f(a)|<\varepsilon$ $(*)$. Si je ne dis pas de bêtises on peut alors construire une fonction continue $g$ telle que $\lambda g $ ne satisfasse la condition $(*)$ pour aucun $\lambda>0$. L'idée est d'utiliser une fonction du type
\[
g : x \mapsto \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} \sqrt[n_k]{|x-a|}
\]
où $(n_k)_k$ est une suite à choisir en fonction de la fonction $\varepsilon \mapsto \eta(\varepsilon)$.
Bref, la boule unité fermée d'une norme strictement plus fine que la norme infinie n'est pas compacte (si je n'ai pas fais d'erreur).
Il y a un théorème très célèbre qui s'appelle théorème de l'application ouverte. Il dit que si $f$ est linéaire et continue et surjective d'un Banach $(E,N_1)$ dans un Banach $(F,N_2)$ alors, elle "est ouverte", au sens que l'image directe par $f$ de la boule unité de $E$ est un voisinage de $0_F$.
Soient maintenant deux normes complètes $N_1,N_2$ sur un même $E$ (qui font donc des Banach de $E$).
Alors si l'identité est continue de $(E,N_1)$ dans $(E,N_2)$ alors elle est continue de $(E,N_2)$ dans $(E,N_1)$.
C'est l'info qui a été donnée plus haut (comparables => identiques).
La preuve du TAO est très courte et sans inspiration (à la différence de ses corollaires souvent plus médiatisés, mais "sales" à prouver):
[small]il est facile (c'est juste Baire) de voir que sans perte de généralité on peut supposer que l'adhérence de l'image directe de la boule unité de $(E,N_1)$ contient la boule centrée de rayon 10 de $(F,N_2)$, puis de rédiger comme on s'y attend une étape de 3 lignes qui permet de déduire de ça que l'image directe (et non plus son adhérence) de la boule unité de $(E,N_1)$ contient la boule centrée de rayon 3 de $(F,N_2)$.[/small]