Distance et adhérence

Ahlamsmap
Ahlamsmap
dans Topologie
Salut
E espace métrique et A une partie de E
J'ai un problème à démontrer la double inclusion :
adh(A) = {x€E | d(x,A) = 0}
adh(A):adhérence de A
On a d(x,A)= inf {||x-y|| tq y€A} mais je ne sais pas comment continuer.
J'ai besoin de votre aide.
Cordialement.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    peut-être utiliser la définition ou les propriétés de l'adhérence. Quelle est ta définition ?

    Cordialement.
  • Poirot
    Poirot
    Une chose utile qu'on utilise souvent : si $\inf E = m$ (où $E$ est un ensemble non vide et minoré de réels) alors il existe une suite $(x_n)_n$ d'éléments de $E$ telle que pour tout $n \geq 1, m \leq x_n \leq m + \frac{1}{n}$ (ou n'importe quoi qui tend vers $0$ à la place de $\frac{1}{n}$).
  • Ahlamsmap
    Ahlamsmap
    On a la propriété :
    a€adh(A) <==> il existe une suite d 'éléments de A qui converge vers a.
    Mais comment l'utiliser ?
    Cordialement .
  • Poirot
    Poirot
    Relis mon message.
  • christophe c
    christophe c
    1/ Déjà tes définitions sont mauvaises car font usage d'un peu d'axiome du choix.

    Le fait que pour tout entier $n\in \N$, il existe $x\in A$ tel que $dist(a,x)<1/n$ implique l'existence d'une suite $u\in A^\N$ telle que:

    $$ \forall n\in \N: dist(u_n,a)<1/n$$

    ne semble pas évidemment prouvable sans aucun axiome du choix.

    2/ Dans le cas métrique, la "bonne définition" de $adh(A)$ est :

    $$\{x\in E\mid \forall e>0 \exists y\in A: dist(x,y) <e\}$$

    et non pas celle que tu proposes.

    Conclusion: il peut paraitre raisonnable que tu n'acceptes pas l'axiome du choix comme une évidence. Et tu as raison c'est un axiome. Il t'appartient de préciser ta position.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    Je ne suis pas certain qu'Ahlamsmap se pose déjà des questions sur l'axiome du choix...
  • christophe c
    christophe c
    Bin c'est lui même qui le dit en fait (inconsciemment?).

    Il dit "je n'arrive pas à prouver que si pour tout n il existe y dans A tel que dist(x,y) < 1/n alors il existe une suite d'éléments de A qui tend vers x".

    Mais j'avoue avoir remplacé après le "alors" par il existe une suite u d'éléments de A vérifia t pour tout n que dist (u(n) , n) < 1/n à sa place.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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