Salut
E espace métrique et A une partie de E
J'ai un problème à démontrer la double inclusion :
adh(A) = {x€E | d(x,A) = 0}
adh(A):adhérence de A
On a d(x,A)= inf {||x-y|| tq y€A} mais je ne sais pas comment continuer.
J'ai besoin de v
otre aide.
Cordialement.
Réponses
peut-être utiliser la définition ou les propriétés de l'adhérence. Quelle est ta définition ?
Cordialement.
a€adh(A) <==> il existe une suite d 'éléments de A qui converge vers a.
Mais comment l'utiliser ?
Cordialement .
Le fait que pour tout entier $n\in \N$, il existe $x\in A$ tel que $dist(a,x)<1/n$ implique l'existence d'une suite $u\in A^\N$ telle que:
$$ \forall n\in \N: dist(u_n,a)<1/n$$
ne semble pas évidemment prouvable sans aucun axiome du choix.
2/ Dans le cas métrique, la "bonne définition" de $adh(A)$ est :
$$\{x\in E\mid \forall e>0 \exists y\in A: dist(x,y) <e\}$$
et non pas celle que tu proposes.
Conclusion: il peut paraitre raisonnable que tu n'acceptes pas l'axiome du choix comme une évidence. Et tu as raison c'est un axiome. Il t'appartient de préciser ta position.
Il dit "je n'arrive pas à prouver que si pour tout n il existe y dans A tel que dist(x,y) < 1/n alors il existe une suite d'éléments de A qui tend vers x".
Mais j'avoue avoir remplacé après le "alors" par il existe une suite u d'éléments de A vérifia t pour tout n que dist (u(n) , n) < 1/n à sa place.