Bonjour
On me demande de montrer l’in
égalité Sum
i,j [||xi-xj||^2] inf
érieur ou
égal
à sum
i,j [||xi||^2 + ||xj||^2],
puis que ||xi - xj|| sup
érieur ou
égale
à M, avec M inf
érieur ou
égal
à racine de 2.
Des conseils ? Quelqu'un peu
t-il me mettre sur la voie ?
Merci!
@+
Réponses
Dit comme ça, aucune signification. " ||xi - xj|| superieur ou egale a M, avec M inferieur ou egal a racine de 2. " est évident avec M=0.
Un conseil : Donner correctement les significations des notations, qu'on puisse savoir de quoi tu parles.
Cordialement.
Bon, copie ici l'énoncé complet et correct de ton ou tes exercices. Il doit encore manquer des choses, car si $x_j=-x_i$, on a $||x_i-x_j||=||2x_i||=2$.
Un espace de Hibert de dimension infini dans R.
x1,...,xn dans cet Hilbert
les sum sont pour i et j entre 1 et n.
Montrer l’inégalité Sumi,j [||xi-xj||^2] =< sum i,j [||xi||^2 + ||xj||^2]
Ensuite on considère xn est une suite infinie de la boule fermée unité du Hilbert, telle que pour M>0, et pour i différent de j, ||xi - xj|| >= M. Et on veut montrer que M =< racine carrée de 2.
J'ai eu la même réflexion que toi.
Et je ne vois pas comment deja montrer la première inégalité avec ces hypothèses...
Montrer l'égalité revient donc à montrer que
$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \langle x_i, x_j \rangle \geq 0$
Ce qui est pratiquement immédiat en utilisant la bilinéarité du produit scalaire
Ce pb avec aussi la question a propos de racine carree de 2.
En effet, je n'avais pas eu le déclic que les deux parties du produit scalaire étaient les même éléments (confusion car d'un côté c'est j et l'autre c'est i). C'est juste a cause de ça que j'étais perdu... et ben, besoin de vitamines moi (genre gelules taille XXL)...
Une idée sur le rapport avec racine carrée de 2 pour la deuxième question?
2n^2 < M^2n^2 \leq \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \| x_j-x_i\|^2 \leq \cdots\]