Hilbert de dimension infinie sur R

Papa Smurf · February 2019

Bonjour
On me demande de montrer l’inégalité Sum_i,j [||xi-xj||^2] inférieur ou égal à sum _i,j [||xi||^2 + ||xj||^2],

puis que ||xi - xj|| supérieur ou égale à M, avec M inférieur ou égal à racine de 2.

Des conseils ? Quelqu'un peut-il me mettre sur la voie ?
Merci!
@+

gerard0 · February 2019

Bonjour.

Dit comme ça, aucune signification. " ||xi - xj|| superieur ou egale a M, avec M inferieur ou egal a racine de 2. " est évident avec M=0.
Un conseil : Donner correctement les significations des notations, qu'on puisse savoir de quoi tu parles.

Cordialement.

Papa Smurf · February 2019

Pour la deuxième partie, x_n est une suite infinie de la boule unité fermée du Hilbert qui est considéré ici, telle que pour M>0, ||xi - xj|| >= M. Et on veut montrer que M =< racine carrée de 2.

gerard0 · February 2019

Et tu croyais qu'on allait deviner ?

Bon, copie ici l'énoncé complet et correct de ton ou tes exercices. Il doit encore manquer des choses, car si $x_j=-x_i$, on a $||x_i-x_j||=||2x_i||=2$.

Papa Smurf · February 2019

C'est tout ce que j'ai...
Un espace de Hibert de dimension infini dans R.
x1,...,xn dans cet Hilbert
les sum sont pour i et j entre 1 et n.

Montrer l’inégalité Sumi,j [||xi-xj||^2] =< sum i,j [||xi||^2 + ||xj||^2]

Ensuite on considère xn est une suite infinie de la boule fermée unité du Hilbert, telle que pour M>0, et pour i différent de j, ||xi - xj|| >= M. Et on veut montrer que M =< racine carrée de 2.

J'ai eu la même réflexion que toi.
Et je ne vois pas comment deja montrer la première inégalité avec ces hypothèses...

Tryss · February 2019

Remarquons déjà que $\|x_i- x_j\|^2 = \|x_i\|^2 + \|x_j\|^2 - 2 \langle x_i, x_j \rangle$

Montrer l'égalité revient donc à montrer que

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \langle x_i, x_j \rangle \geq 0$

Ce qui est pratiquement immédiat en utilisant la bilinéarité du produit scalaire

Papa Smurf · February 2019

Oui, la premiere relation est bien sure evidente du cours, mais je suis curieux comment tu utilises la bilinearite pour montrer que c'est >0. C'est le pb que j'ai.
Ce pb avec aussi la question a propos de racine carree de 2.

Poirot · February 2019

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \langle x_i, x_j \rangle = \sum_{i=1}^n \langle x_i, \sum_{j=1}^n x_j \rangle = \langle \sum_{i=1}^nx_i, \sum_{j=1}^n x_j \rangle.$$

Papa Smurf · February 2019

Merci.
En effet, je n'avais pas eu le déclic que les deux parties du produit scalaire étaient les même éléments (confusion car d'un côté c'est j et l'autre c'est i). C'est juste a cause de ça que j'étais perdu... et ben, besoin de vitamines moi (genre gelules taille XXL)...

Une idée sur le rapport avec racine carrée de 2 pour la deuxième question?

Tryss · February 2019

Si (en reprenant les hypothèses précédentes,) $\forall i,j,\ \| x_j - x_i\|^2 \geq M^2 > 2$, alors $\forall n,$ \[

2n^2 < M^2n^2 \leq \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \| x_j-x_i\|^2 \leq \cdots\]

Hilbert de dimension infinie sur R

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