Le mystère de la compacité ?
Salut,
derrière ce titre un peu provocateur se cache les suivantes préoccupations.
La compacité m'a toujours semblé une notion mystérieuse, pour plusieurs raisons.
- A l’époque (je crois vers la première moitié du 20ème siècle) où l’équivalence entre "toute suite a une sous-suite convergente" et la ppte propriété du sous-recouvrement fini a été découverte (par Heine si je me souviens bien), quelles furent les motivations pour faire intervenir cette étrange ppte propriété du sous-recouvrement fini ? Évidemment aujourd'hui elle ne nous semble pas étrange car elle fait partie du décor, mais à cette époque ???
- Un autre mystère pour moi est que la compacité sous la forme de la ppte propriété du sous-recouvrement fini se marie si bien avec la notion de groupe sous la forme de la théorie des groupes compacts... ça ressemble à un miracle que deux notions si "simples" (en fait trois avec la séparabilité qui est essentielle), quand on les met ensemble, permettent de déduire de si belles et importantes propriétés, en si grand nombre (il n'y a qu'à voir le nombre de pages d'une monographie, même non exhaustive, sur les groupes compacts !).
- Même en ne restant que sur des aspects purement topologiques, il est remarquable que 2 topologies compact + Hausdorff sur un même ensemble ne soient pas comparables (l'une ne peut pas être plus fine que l'autre). Ça m'a toujours fait penser : que peut-on dire de l'ensemble des topologies compactes Hausdorff sur un ensemble donné ? On sait par exemple qu'un ensemble (en particulier un groupe) fini n'a qu'une topologie compacte Hausdorff, alors peut-on dire quelque chose d’intéressant sur l'ensemble des topologies compactes Hausdorff d'un groupe compact donné ?
- Et que dire de l'importance absolument cruciale de la notion de compacité dans le domaine des variétés de toutes sortes (surfaces de Riemann compactes, classification des surfaces topologiques compactes connexes, etc.) !!
Pourquoi à votre avis cette propriété de sous-recouvrement fini permet-elle de déduire tant de choses fondamentales dans des domaines différents ?
derrière ce titre un peu provocateur se cache les suivantes préoccupations.
La compacité m'a toujours semblé une notion mystérieuse, pour plusieurs raisons.
- A l’époque (je crois vers la première moitié du 20ème siècle) où l’équivalence entre "toute suite a une sous-suite convergente" et la ppte propriété du sous-recouvrement fini a été découverte (par Heine si je me souviens bien), quelles furent les motivations pour faire intervenir cette étrange ppte propriété du sous-recouvrement fini ? Évidemment aujourd'hui elle ne nous semble pas étrange car elle fait partie du décor, mais à cette époque ???
- Un autre mystère pour moi est que la compacité sous la forme de la ppte propriété du sous-recouvrement fini se marie si bien avec la notion de groupe sous la forme de la théorie des groupes compacts... ça ressemble à un miracle que deux notions si "simples" (en fait trois avec la séparabilité qui est essentielle), quand on les met ensemble, permettent de déduire de si belles et importantes propriétés, en si grand nombre (il n'y a qu'à voir le nombre de pages d'une monographie, même non exhaustive, sur les groupes compacts !).
- Même en ne restant que sur des aspects purement topologiques, il est remarquable que 2 topologies compact + Hausdorff sur un même ensemble ne soient pas comparables (l'une ne peut pas être plus fine que l'autre). Ça m'a toujours fait penser : que peut-on dire de l'ensemble des topologies compactes Hausdorff sur un ensemble donné ? On sait par exemple qu'un ensemble (en particulier un groupe) fini n'a qu'une topologie compacte Hausdorff, alors peut-on dire quelque chose d’intéressant sur l'ensemble des topologies compactes Hausdorff d'un groupe compact donné ?
- Et que dire de l'importance absolument cruciale de la notion de compacité dans le domaine des variétés de toutes sortes (surfaces de Riemann compactes, classification des surfaces topologiques compactes connexes, etc.) !!
Pourquoi à votre avis cette propriété de sous-recouvrement fini permet-elle de déduire tant de choses fondamentales dans des domaines différents ?
Réponses
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Ta question est assez floue, mais, je l'ai resignalé récemment dans un autre fil, la "bonne définition" de compact est "contient tous ses infinis"* .
Autrement dit, tu as une sorte d'efficacité de même nature que l'efficacité de la géométrie projective face à l'affine (où il faut parfois recopier 17 cas différents alors qu'un seul suffit pour dire la même chose si on accepte le paradigme projectif).
* $<<$ quête$>>$ abrège $<<$ ensemble d'ouverts stable par réunions finies $>>$.
est (quasi)compact un espace où toute quête sans maximum a une réunion différente de l'espace entier.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Tu entends quoi par "contient tous ses infinis" dans le cas de la compacité ? Tu penses à la définition des sous-suites convergentes ? Pour la définition avec la propriété des sous-recouvrements finis le lien n'est pas clair a priori ...
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De mon téléphone : un infini est une quête sans maximum dont la réunion est l'espace entier. Les ouverts qu'elle contient représentent le territoire déjà visité sans trouver le graal à un instant abstrait.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Mmmm... tu dis que ma question est "assez floue", mais ta reponse est plus metaphorique que l'oracle de Delphes... Non serieusement tu peux en dire quelque chose de plus concret ? J'aime la poesie, mais chaque chose en son temps.
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Bin, je t'ai donné une réponse qui me semblait aider. Je ne peux pas y passer des heures non plus.
Je te donne une autre utilité de la compacité.
Soit $E$ un espace compact séparé et $R\subset E^4$ fermé. Alors
$$ A:=\{x\mid \forall u\in E\exists v\in E \exists w\in E: R(x,y,v,w)\} $$
est fermé.
Et cet exemple est valable quelle que soit la longueur de la quantification, les alternances $\forall \exists$ (ici j'ai pris 3) et l'arité (ici j'ai pris 1, ie $A\in P(E^1)$)
Si donc, pour telle ou telle raison, on admet que les fermés sont "faciles à calculer", et bien à l'opposé de tout ce qui se passe (et est même prouvable ainsi) dans le reste des maths, la complexité n'augmente pas en alternant des projections et des prises de complémentaires.
Ca prélude, par exemple le fait que la théorie de $(\R,+,\times)$ est décidable, etc, même s'il faut légèrement adapter car on n'a pas "tout à fait" affaire à des espaces compacts.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@ syborg : Commence par lire ces trois articles et puis consulte leur bibliographie. Cela devrait te donner un point de vue historique sur la question de la compacité.
A pedagogical history of compactness de Manya Raman-Sundstrom (2015)
La genèse du théorème de recouvrement de Borel par Bernard Maurey and Jean-Pierre Tacchi (2005)
The Borel theorem and its generalizations par Hildebrandt (1926) -
Christophe C, je ne vois pas le rapport avec ma question sur l'efficacite suprenante de la notion de compacite au travers des maths modernes, mais je dois etre un peu bete :-)
-
Serge,
fort intéressant cet article pour comprendre le développement historique de la compacité sous ses différentes versions.
Cependant il laisse ouvert ma question initiale : pour quelles raisons fondamentales cette notion est-elle si efficace pour le développement de tant de domaines des maths modernes (entre autres les groupes compacts) ?
Je vais quand même jeter un œil à certains éléments de la biblio de l'article.
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