Topologie dans un Banach

Je suppose que tu voulais parler de formes linéaires continues, sinon je pense qu'on peut montrer que la suite est stationnaire en $x$.

Soit $l$ une forme linéaire continue sur $X$. Pour tout $n \in \mathbb N,$ on a $||l(x_n)|| \leq ||l|| \times ||x_n||.$ En prenant les limites inférieures de chaque côté, on a $||l(x)|| \leq ||l|| \liminf_{n \to +\infty} ||x_n||$. Il ne reste qu'à utiliser une conséquence bien connue du théorème de Hahn-Banach.

Il n'y a aucune raison qu'une forme linéaire soit continue sur un Banach.