Soit X un espace de Banach et x_n une suite d'éléments de X telle que pour tout l forme linéaire de X ; l(x_n) converge vers l(x), x élément de X.
Montrer que ||x|| =< lim inf ||x_n||. Merci
Je suppose que tu voulais parler de formes linéaires continues, sinon je pense qu'on peut montrer que la suite est stationnaire en $x$.
Soit $l$ une forme linéaire continue sur $X$. Pour tout $n \in \mathbb N,$ on a $||l(x_n)|| \leq ||l|| \times ||x_n||.$ En prenant les limites inférieures de chaque côté, on a $||l(x)|| \leq ||l|| \liminf_{n \to +\infty} ||x_n||$. Il ne reste qu'à utiliser une conséquence bien connue du théorème de Hahn-Banach.
Bonsoir Mr Poirot.merci infiniment c est bien ça .la question est dans un livre en anglais et pour eux
Forme lineaire est automatiqument continue sur les espaces de Banach
Merci
Réponses
Soit $l$ une forme linéaire continue sur $X$. Pour tout $n \in \mathbb N,$ on a $||l(x_n)|| \leq ||l|| \times ||x_n||.$ En prenant les limites inférieures de chaque côté, on a $||l(x)|| \leq ||l|| \liminf_{n \to +\infty} ||x_n||$. Il ne reste qu'à utiliser une conséquence bien connue du théorème de Hahn-Banach.
Forme lineaire est automatiqument continue sur les espaces de Banach
Merci