Densité

Nasim
Nasim
dans Topologie
Bonjour
Je cherche à montrer que si $X$ est dense dans $\mathbb{R}$, donc $X\times X$ est dense dans $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$

Pour ce faire je crois qu’il faut démontrer que: $\overline{X}\times \overline{X}=\overline{X\times X}$.
Donc j’ai cette idée de montrer que : $\overline{(X}\times \overline{X})\subset \overline{X\times X}$ et $\overline{X\times X}\subset \overline{(X}\times \overline{X})$

Si vous pouvez m’aider, je vous remercie.

Réponses

  • melpomène
    melpomène
    Pourquoi ne pas raisonner en termes de limites de suites? C'est tellement plus simple, et ça prend une ligne et demi.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    @mel : oui mais enfin bon c'est quand même bien moins élégant et bien moins général (sauf si tu changes suites en filtres ou nets)
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Bonsoir Nasim,
    Quelle est ta définition de l’adhérence ?
  • SERGE_S
    SERGE_S
    @Maxtimax : L'exercice dit qu'on travaille dans R. R, est un espace métrique toute les notions topologiques pouvant s'exprimer en termes de suites. Franchement pourquoi s'en priver ? C'est facile, c'est rapide et indolore et on fini en moins de deux lignes.
  • Nasim
    Nasim
    En termes de limites de suites, je peux confirmer que :

    Si $X$ est dense dans $\mathbb{R}$ alors pour tout $x\in \mathbb{R}$ il existe une suite d’éléments de $X$ qui converge $x$
  • Maxtimax
    Maxtimax
    @Serge : oui mais 3 lignes plus tard (enfin peut-être, j'en sais rien, mais un peu plus tard disons) il y a le même exercice avec $Y$ un espace topologique quelconque au lieu de $\mathbb{R}$; on aurait tort de se priver de la résolution de 2 exos en un
  • Champ-Pot-Lion
    Champ-Pot-Lion
    Mais dans ce cas on fait comme tu dis avec des suites généralisées. C'est quand même beaucoup plus intuitif et... plus élégant, non ? J'ai besoin de réfléchir pour faire avec des ouverts, alors qu'avec les suites non.

    C'est comme s'il y avait deux "côtés" à la topologie : l'un géométrique, où on regarde l'adhérence, où il est naturel de faire avec des suites généralisées, où on regarde les fonctions vers l'espace, et il y a un côté logique, où on regarde l'intérieur et les fonctions depuis l'espace. On retrouve ces deux côtés dans l'axiomatisation à base d'ouverts/intérieur versus celle à base de fermés/adhérence... La notion de compacité a deux formulations, chacune dans son contexte, par exemple, et apportent chacune une intuition (pas d'échappement à l'infini pour le côté géométrique ; ce qui est localement vrai l'est globalement pour le côté logique). Je pars un peu en élucubrations mais c'est comme si la "point set topology" était l'intersection des "convergence space" (le côté géométrique) et de la "pointless topology" (le côté logique)...
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Oui tu as raison; j'ai parlé trop vite
  • Nasim
    Nasim
    Pouvez-vous m'expliquer comment je dois procéder SVP ?
  • Poirot
    Poirot
    Ton but est, étant donné un couple de réels $(x, y) \in \mathbb R \times \mathbb R$, de trouver une suite de couples d'éléments $(x_n, y_n) \in X \times X$ telle que la suite $((x_n, y_n))_n$ converge vers $(x, y)$. Comme tu sais que $X$ est dense dans $\mathbb R$, ça ne devrait pas être trop dur d'imaginer une suite qui a des chances de fonctionner non ?
  • Nasim
    Nasim
    Cette suite fonctionne par exemple :
    $$\left( {{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)=\left( x+\frac{1}{n},y+\frac{1}{2n} \right)$$
  • Poirot
    Poirot
    Qu'est-ce qui te dit que pour $n \geq 1$, $x+\frac{1}{n} \in X$ et $y+\frac{1}{2n} \in X$ ?
  • Nasim
    Nasim
    $X$ dense dans $\mathbb{R}$ , pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a : $$x<x+\frac{1}{n}

    $$ Donc il existe une suite ${{x}_{n}}\in X$ , tel que : $x<{{x}_{n}}<x+\frac{1}{n}$ et ${{x}_{n}}$ converge vers $x$.

    M    ême raisonnement pour ${{y}_{n}}$.
  • Poirot
    Poirot
    Tu n'as pas conclus pour ton exercice.
  • Nasim
    Nasim
    C'est bon comme ça :

    Soit $\left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$.

    Comme $X$ est dense dans $\mathbb{R}$, alors pour tout $x\in \mathbb{R}$ et $y\in \mathbb{R}$ on a :

    $x<x+\frac{1}{n}$ et $y<y+\frac{1}{2n}$

    Donc il existe deux suites ${{x}_{n}}\in X$ et ${{y}_{n}}\in X$ tels que :

    $x<{{x}_{n}}<x+\frac{1}{n}$ et $y<{{y}_{n}}<y+\frac{1}{2n}$ et $x_n$ converge vers $x$ et $y_n$ converge vers $y$ .

    Ainsi la suite ${{\left( ({{x}_{n}},{{y}_{n}}) \right)}_{n}}$d’élément de $X\times X$ converge vers $\left( x,y \right)$ .

    On vient de démontrer que si $X$ est dense dans $\mathbb{R}$, donc $X\times X$ est dense dans $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$
  • Champ-Pot-Lion
    Champ-Pot-Lion
    Je dirais que c'est bon ! :-D Mais voici quand même quelques remarques :
    1. Tu pourrais quantifier sur $n$ ("pour tout $n$, blabla"). Et peut-être écrire $(x_n)_n \subseteq X$ pour introduire ta suite, ou $(x_n)_n \in X^\N$, ou similaire, au lieu de $x_n \in X$.
    2. Tu pourrais écrire $1/n$ une deuxième fois au lieu de $1/(2n)$.
    3. Tu écris "donc" au lieu de "alors" dans la dernière phrase... enfin bon j'arrête là (tels ou telles ? etc.).
  • christophe c
    christophe c
    Il y a une discussion au début du fil visant à défendre de privilégier les suites. Je me permets de dire que c'est vraiment "idiot" et qu'il ne faut pas être "suiviste". Que le programme des prepa ait accompli une grosse erreur via sa remise de la topo en arrière-plan ne doit pas conduire à suivre un tel mauvais exemple (le syndrome de Stockholm est vraiment partout :-D )

    Dans le cas présent, ça force un étudiant à utiliser (et sans le dire !!!) l'axiome du choix dénombrable, bravo!

    Si $W$ est un ouvert non vide de $E\times E$, le plus important est surtout de remarquer que la définition des espaces produits est incontournable!! puisque la seule "vraie"*** étape à franchir est de dire "alors il existe des ouverts $U,V$ de $E$ tels que $U\times V\subset W$". Comme $X$ (supposé dense) les rencontre tous les 2, $X\times X$ rencontre $W$.

    Pour les personnes qui voudraient faire "les choses bien" avec l'esprit "convergences", j'invite à acquérir l'ANS (ce n'est pas très long).

    ***Et sacrifier + inviter l'usine à gaz des suites pour esquiver ces deux lignes est un peu triste. Les quantificateurs que vous**** croyez éviter sont sous-entendus (donc présents!!!) même dans les suites.

    **** je ne sais même pas qui est "vous" car j'ai lu ça l'autre jour de mon téléphone :-D Mais je réponds aujourd'hui.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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