Valeurs d'adhérence d'une suite

Topotopo · February 2019

Salut à tous.
Comment montrer que la limite de la sous-suite $(x_{n_k})$ est une valeur d'adhérence pour la suite $(x_n)$ ?
Dans un espace topologique.

Par définition $\ell$ est une valeur d'adhérence si $$\forall V \in \mathcal{V}_\ell, \ \mathrm{card}\{n \mid x_n\in V\}=+\infty

$$ Soit $V$ un voisinage de $\ell$, comme $\ell$ est limite alors $$
\exists k_0\in \mathbb{N},\ \forall k\geq k_0,\ x_n\in V.

$$ Comment terminer ?

gerard0 · February 2019

Bonjour.

Comme tu ne dis rien de la suite $(x_n)_n$, tu ne risques pas de le démontrer. Si $x_n=n$, il n'y a aucune valeur d'adhérence dans $\mathbb R$ pour toute sous-suite, y compris $(x_n)_n$; et même si $(x_n)_n$ a une valeur d'adhérence, il n'y a aucune raison pour qu'une sous-suite en ait une. Par exemple si $x_n=n$ pour $n$ pair et $x_n=0$ pour $n$ impair, la sous-suite $(x_{2n})_n$ n'a pas de valeur d'adhérence.

Cordialement.

Topotopo · February 2019

Oui mais la condition c'est que la suite admet une sous-suite convergente, puis il faut demontrer que la limite de la sous-suite est en fait une valeur d'adhérence.

gerard0 · February 2019

Ben ... c'est une tout autre question. Pourquoi ne pas l'avoir dit tout de suite ?

Et c'est quasiment évident : Tout voisinage de la limite de la sous-suite contient une infinité de termes de la sous-suite, donc de la suite. Tout au plus, démontre le lemme classique et facile : Si $u_n\to \ell$, alors tout voisinage de $\ell$ contient une infinité de $u_n$.

Cordialement.

christophe c · February 2019

Coquille: d'antécédents et non pas termes. Une infinité de n tels que.... Et non pas une infinité de u_n tels que....

gerard0 · February 2019

Merci !

Topotopo · February 2019

Je n'arrive pas a l'exprimer mathématiquement

Poirot · February 2019

La sous-suite $(x_{n_k})_k$ converge vers $l$ : exprime cela en termes de voisinages de $l$. À partir de ça il ne devrait pas être trop dur, pour chaque voisinage $V$ de $l$, d'exhiber une infinité d'entiers $n$ tels que $x_n \in V$ non ?

Plus généralement, si $l$ est valeur d'adhérence de la sous-suite $(x_{n_k})_k$ (ce qui est en particulier le cas si elle converge vers $l$), alors $l$ est valeur d'adhérence de $(x_n)_n$.

SERGE_S · February 2019

Topotopo a écrit:

Je n'arrive pas a l'exprimer mathématiquement

Comment exprimer qu'une infinite de termes de la suite x_n se trouvent dans le voisinage V ?
La definition séquentielle de valeur d'adhérence est presque la même que celle de limite, à ceci près qu'au lieu d'avoir tout les termes à partir d'un certain rang dans le voisinage V, il y en a seulement une infinité (ce qui implique qu'il peut y en avoir une infinité de termes en dehors de V aussi).
Reflechis comment exprimer cette condition avec les quantificateurs.