Topologie sur $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$
Bonsoir
Sur $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ on définie une base d'ouverts, pour tout $(x,x')\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ par $$
\mathcal{B}_{x,x'}=\{(z,y)\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\mid x<z<x',\ y\in \mathbb{Q}\}.
$$ L'objectif est de trouver $\overline{A}$ et $\overset{\circ}A$ où $$A=\{(x,y)\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}: x^2+y^2=1\}.
$$ Je n'ai pas bien compris cette topologie ni comment répondre à la question.
Sur $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ on définie une base d'ouverts, pour tout $(x,x')\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ par $$
\mathcal{B}_{x,x'}=\{(z,y)\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\mid x<z<x',\ y\in \mathbb{Q}\}.
$$ L'objectif est de trouver $\overline{A}$ et $\overset{\circ}A$ où $$A=\{(x,y)\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}: x^2+y^2=1\}.
$$ Je n'ai pas bien compris cette topologie ni comment répondre à la question.
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Réponses
La première chose est de voir comment sont faits les ouverts de cette base, puis de regarder quelques ouverts "non basiques. Tu peux aussi regarder les fermés "évidents", et vérifier que $\emptyset$ et $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ sont bien des ouverts.
Dans un deuxième temps, il sera important de regarder comment est fait $A$ (ce n'est pas évident) et, par exemple, quels sont les $x$ rationnels pour lesquels il existe un $y$ tel que $(x,y)\in A$. Donc rechercher les points à coordonnées rationnelles du cercle trigonométrique.
Bon travail !
Pour $A$ je me suis dit que c'est l'intersection du cercle sur $\mathbb{R}^2$ de rayon 1 et de centre (0.0).
J'ai essayé de définir les fermés (les plus petits) mais je trouve une contradiction $$\{(z,y)\in \mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\mid z\geq x' \text{ ou } z\leq x \text{ et } y\notin \mathbb{Q}\}.
$$ Ce n'ai pas correct.
Il va falloir que tu revoies :
1) ce qu'est une base d'ouverts
2) l'énoncé, pour comprendre ce que sont les ouverts de la base.
Quant à ce que tu dis des fermés, c'est du grand n'importe quoi ($y\not\in \mathbb Q$, alors qu'on ne travaille qu'avec des rationnels).
Un petit peu de sérieux, s'il te plaît, c'est ton exercice, tu pourrais essayer de le faire vraiment (lire l'énoncé, le relire, jusqu'à avoir compris ce qu'il dit).
Commence par donner une description de l'ouvert Bx, x' en français. Je commence et tu finis la phrase : Bx, x' est la réunion dénombrable de machin-chose. Qu'est-ce que machin-chose ? C'est un ensemble géométrique très très simple. A toi de le trouver.
Si j'ai bien compris les ouverts sont de la forme $(]x,x'[\cap \mathbb{Q})\times \mathbb{Q}$ avec $x,x'\in \mathbb{Q}$,
Maintenant, tu peux commencer à avancer. Regarde quand même les cas $x>x'$ et $x=x'$.
Cordialement.
pour les fermés c'est $(]-\infty,x]\cup[x',+\infty[)\times Q$ ?
Pour les ouverts, il y en a bien d'autres que les $\mathcal{B}_{x,x'}$. Par exemple $\mathbb Q^{*+}\times \mathbb Q$ est un ouvert. Saurais-tu le prouver ?
Le point b de coordonnées (0, 5) n'appartient pas à A et pourtant l'intersection d'un ouvert quelconque de la forme Bx, x' qui contient b avec l'ensemble A est non vide. Par exemple il contient le point de coordonnées (0,1) qui est bien sur le cercle.
l'adhérence est le plus petit fermé qui contient A, donc j'ai pensé qu'il suffit de voir les fermés de la base puisque les ouverts de la bases sont les plus petits.