Topologie sur $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$
Bonsoir
Sur $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ on définie une base d'ouverts, pour tout $(x,x')\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ par $$
\mathcal{B}_{x,x'}=\{(z,y)\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\mid x<z<x',\ y\in \mathbb{Q}\}.
$$ L'objectif est de trouver $\overline{A}$ et $\overset{\circ}A$ où $$A=\{(x,y)\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}: x^2+y^2=1\}.
$$ Je n'ai pas bien compris cette topologie ni comment répondre à la question.
Sur $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ on définie une base d'ouverts, pour tout $(x,x')\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ par $$
\mathcal{B}_{x,x'}=\{(z,y)\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\mid x<z<x',\ y\in \mathbb{Q}\}.
$$ L'objectif est de trouver $\overline{A}$ et $\overset{\circ}A$ où $$A=\{(x,y)\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}: x^2+y^2=1\}.
$$ Je n'ai pas bien compris cette topologie ni comment répondre à la question.
Réponses
-
Bonsoir.
La première chose est de voir comment sont faits les ouverts de cette base, puis de regarder quelques ouverts "non basiques. Tu peux aussi regarder les fermés "évidents", et vérifier que $\emptyset$ et $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ sont bien des ouverts.
Dans un deuxième temps, il sera important de regarder comment est fait $A$ (ce n'est pas évident) et, par exemple, quels sont les $x$ rationnels pour lesquels il existe un $y$ tel que $(x,y)\in A$. Donc rechercher les points à coordonnées rationnelles du cercle trigonométrique.
Bon travail ! -
Je pense que $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ est l'union de tout les point $(z,y)$.
Pour $A$ je me suis dit que c'est l'intersection du cercle sur $\mathbb{R}^2$ de rayon 1 et de centre (0.0).
J'ai essayé de définir les fermés (les plus petits) mais je trouve une contradiction $$\{(z,y)\in \mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\mid z\geq x' \text{ ou } z\leq x \text{ et } y\notin \mathbb{Q}\}.
$$ Ce n'ai pas correct. -
Je ne vois pas ce que les "points $(z,y)$" viennent faire là.
Il va falloir que tu revoies :
1) ce qu'est une base d'ouverts
2) l'énoncé, pour comprendre ce que sont les ouverts de la base.
Quant à ce que tu dis des fermés, c'est du grand n'importe quoi ($y\not\in \mathbb Q$, alors qu'on ne travaille qu'avec des rationnels).
Un petit peu de sérieux, s'il te plaît, c'est ton exercice, tu pourrais essayer de le faire vraiment (lire l'énoncé, le relire, jusqu'à avoir compris ce qu'il dit). -
Les ouverts sont l'union d'ensemble de la base, et la base est définie par les points $(z,y)$, aussi pour les fermés je suis consciente que c'est faux je l'ai dit.
-
Ce que tu racontes ne veut rien dire "la base est définie par les points $(z, y)$", qui sont $z$ et $y$ ? Je pense qu'il faudrait que tu relises calmement ton cours de topologie, déjà revoir la définition d'une topologie (c'est une famille de parties, pas un famille de points), et la notion de base d'ouverts. Ici on te dit simplement que l'on décrète ouvert dans $\mathbb Q^2$ toute partie qui est réunion d'ensembles de la forme $\mathcal{B}_{x,x'}$.
-
Bonjour,
Si j'ai bien compris les ouverts sont de la forme $(]x,x'[\cap \mathbb{Q})\times \mathbb{Q}$ avec $x,x'\in \mathbb{Q}$, -
OK. Enfin ... les ouverts de la base.
Maintenant, tu peux commencer à avancer. Regarde quand même les cas $x>x'$ et $x=x'$.
Cordialement. -
Pour les cas $x>x'$ et $x=x'$ c'est l'ensemble vide.
pour les fermés c'est $(]-\infty,x]\cup[x',+\infty[)\times Q$ ? -
Tu sembles toujours confondre la base d'ouverts avec les ouverts en général. Tu ne définis pas "les fermés", mais "certains fermés". mais il y en a d'autres.
Pour les ouverts, il y en a bien d'autres que les $\mathcal{B}_{x,x'}$. Par exemple $\mathbb Q^{*+}\times \mathbb Q$ est un ouvert. Saurais-tu le prouver ? -
Pour faire un peu avancer le truc, c'est déjà pas dur de voir que A est fermé ce qui aide au moins pour calculer l'adhérence …
-
@ Lupulus : tu est vraiment sûr que l'ensemble A soit fermé dans Q^2 avec la topologie de l'exercice ?
Le point b de coordonnées (0, 5) n'appartient pas à A et pourtant l'intersection d'un ouvert quelconque de la forme Bx, x' qui contient b avec l'ensemble A est non vide. Par exemple il contient le point de coordonnées (0,1) qui est bien sur le cercle. -
Bonjour,
l'adhérence est le plus petit fermé qui contient A, donc j'ai pensé qu'il suffit de voir les fermés de la base puisque les ouverts de la bases sont les plus petits. -
Remarque en passant : les ouverts de cet exercice sont non bornés (dans le sens usuel), donc trouver l'intérieur de $A$ est trivial.
-
pour l'intérieur c'est l'ensemble vide, et pour l'adhérence c'est $[-1,1]\cap \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$
-
Tu as démontré que c'est un fermé ?
-
Et surtout que c'est le plus petit qui contient $A$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 6
+4 Invités