Aide exercice de topologie générale
Bonjour
Après avoir répondu aux question 1) et 2), je bloque sur la 3) et aimerais si possible un petit peu d'aide. Mon idée principale pour la 3) est la suivante.
Il s'agit donc compte tenu de 1) de montrer que $\ker(r_*)i_*(\pi(A,a)) = \pi(X,a)$, et le résultat en découle.
Supposons donc $ \ker(r_*)$ et $ i_*(\pi(A,a)) $ distingués et soit $ g \in \pi(X,a)$.
On peut trouver $n_1 \in i_*(\pi(A,a)) $, $ k_1 \in \ker(r_*) $ et $g_1 \in \pi(X,a) $ tels que $ g = g_1k_1n_1$.
On réitère avec $g_1$ pour obtenir $ g = g_2k_2n_2k_1n_1$ avec des notations évidentes, puis on applique le résultat du 2) pour obtenir $ g = g_2k_2k_1n_2n_1$.
On peut pour tout $p \in \mathbb{N}$ réitérer pour obtenir $g = g_pk_p\cdots k_1n_p\cdots n_1$.
Si alors j'arrive à montrer qu'il existe un certain $p$ tel que $g_p \in \ker(r_*)$ ou $g_p \in i_*\big(\pi(A,a)\big)$, alors c'est gagné. C'est donc là que je bloque. Peut-être que ma méthode n'est pas bonne aussi et que je manque quelque chose.
Merci d'avance pour toute aide utile.
Après avoir répondu aux question 1) et 2), je bloque sur la 3) et aimerais si possible un petit peu d'aide. Mon idée principale pour la 3) est la suivante.
Il s'agit donc compte tenu de 1) de montrer que $\ker(r_*)i_*(\pi(A,a)) = \pi(X,a)$, et le résultat en découle.
Supposons donc $ \ker(r_*)$ et $ i_*(\pi(A,a)) $ distingués et soit $ g \in \pi(X,a)$.
On peut trouver $n_1 \in i_*(\pi(A,a)) $, $ k_1 \in \ker(r_*) $ et $g_1 \in \pi(X,a) $ tels que $ g = g_1k_1n_1$.
On réitère avec $g_1$ pour obtenir $ g = g_2k_2n_2k_1n_1$ avec des notations évidentes, puis on applique le résultat du 2) pour obtenir $ g = g_2k_2k_1n_2n_1$.
On peut pour tout $p \in \mathbb{N}$ réitérer pour obtenir $g = g_pk_p\cdots k_1n_p\cdots n_1$.
Si alors j'arrive à montrer qu'il existe un certain $p$ tel que $g_p \in \ker(r_*)$ ou $g_p \in i_*\big(\pi(A,a)\big)$, alors c'est gagné. C'est donc là que je bloque. Peut-être que ma méthode n'est pas bonne aussi et que je manque quelque chose.
Merci d'avance pour toute aide utile.
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Réponses
Si tu veux une preuve de ce fait, prends un element $x$ de ton groupe, applique lui $i_*r_*$, et regarde la difference : ou se trouve-t-elle ?
(PS : desole pour le manque d'accents, je suis sur un clavier etranger)
Je crois que ton intervention répond parfaitement à mon interrogation et m'a débloqué, je te remercie.