Topologie, droites dans $\mathbb{C}^2$

Bonjour
J'ai du mal à avancer sur cet exercice je sollicite donc de l'aide.

Pour la 1) j'ai démontré que $X$ est bien homéomorphe à $\{ (x,y) \in \mathbb{C}^2\mid xy \ne 0 \}$, que $X$ est connexe par arcs (donc qu'on peut bien parler du groupe fondamental). Après j'intuite que $X$ est simplement connexe et donc que $\pi_1(X)$ est trivial. Je souhaite le montrer en montrant que tout lacet de base $(1,1)$ dans $X$ est homotope au lacet constant $\lambda(t) = (1,1) $ via une homotopie $H$. J'avais pensé à $H(t,s) = (1-s)\lambda(t) +s(1,1)$ mais bon je n'arrive pas à prouver que $H(t,s)$ reste dans $X$, i.e qu'aucune de ces coordonnées ne s'annulent, pour tout $(t,s)$ ...

Pour la 2), $\pi_1(U_{\mathbb{R}}, (1,0) )$ est isomorphe à $\pi_1( \mathbb{S^1} )$ car, identifiant $\mathbb{R}^2$ à $\mathbb{C}$, la projection radiale sur $\mathbb{S}^1$ est une rétraction par déformation.
Pour $\pi_1(U_{\mathbb{C}},(1,0))$, je vois $U_{\mathbb{C}}$ comme $\mathbb{C}^2$ privé d'une infinité de droites passant par $(0,0)$. En effet si $(x,y)$ est tel que $x^2 + y^2 = 0$, alors le droite de $\mathbb{C^2}$ engendré par $(x,y)$ n'est pas dans $U_{\mathbb{C}}$, et il y a bien une infinité de telles droites, par exemple les droites engendrées par $(x, ix)$ pour $x$ parcourant $\mathbb{R}$. Est-ce que $\mathbb{U_{\mathbb{C}}}$ est connexe ? Je ne sais pas. Je me dis aussi qu'il faut certainement utiliser le résultat de la 1), mais bon je n'ai même pas réussi ...

Pardonnez mes erreurs et merci pour toute aide.