Espace topologique fini non vide et connexe

$\{\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$ n'est pas une topologie sur $\{0, 1\}$, et même en y ajoutant le vide, ne fait pas de $\{0, 1\}$ un espace topologique connexe.

Si tu prends la topologie grossière ce sera bien connexe (par arcs) mais bien sûr le groupe fondamental sera trivial.

Je ne sais pas si ce que tu recherches est réalisable.

Non ce n'est pas la raison ($\emptyset\subset X$ est vérifié quel que soit $X$ !), la raison est que si $X$ est grossier, toute application à valeurs dans $X$ est continue.
Quel est le rapport avec ce que tu ecris ensuite ? Un espace discret à plus d'un point n'est jamais connexe, a fortiori jamais connexe par arcs. Il faudrait peut-être faire un peu de topologie avant de t'attaquer à la topologie algébrique...

@johnsmoke : pourquoi les classes d'homotopie seraient en nombre fini ? Il y a des "modèles finis" de $S^n$, c'est-à-dire des espaces topologiques finis qui ont les mêmes groupes d'homotopies que $S^n$; il me semble avoir vu un article qui disait qu'il y en avait de taille $2n+2$: si c'est correct il y a un espace à $4$ éléments qui a un groupe fondamental $\Z$ (et même si ce n'est pas $4$, c'est certain qu'il y en a des finis). Mots clés : modèle minimal des sphères

Je rajoute que je confirme (bon il est minuit passée et je l'ai fait au brouillon mais je suis quasi-sûr) qu'il y a bien un espace à $4$ éléments qui convient (EDIT : bon, minuit m'a joué des tours, l'espace en question a en réalité $\Z$ comme $\pi_1$, donc il faut chercher un peu plus; je me souviens d'ailleurs maintenant en voyant le partiel que j'avais mis cet exemple à la fin de ma copie en espérant qu'il fonctionne, sans le justifier; mais le prof m'avait dit que l'exemple minimal avait quelque chose comme 6 ou 8 points, je ne sais plus)

Eh bien la topologie donnée par John n'est tout simplement pas discrète. C'est pour ça que j'ai dit que tu devrais faire de la topologie avant de faire de la topologie algébrique : c'est évident qu'un espace discret à plus d'un point ne peut pas être connexe.

@Poirot : je n'ai jamais prétendu que ces espaces avaient le même type d'homotopie (je n'ai même pas parlé du type faible d'homotopie ! - tant mieux si c'est vrai :-D ); juste les mêmes groupes d'homotopie, ce qui découle naturellement de l'existence d'une équuvalence faible (mais je n'étais pas au courant, je parlais d'isomorphismes abstraits)

(D'ailleurs le corollaire page 8 confirme ce que je disais : $S^n$ a un modèle minimal à $2n+2$ éléments - merci pour l'article ;-) )

Mieux : 9 points. Qui dit moins ?

Georges : GBZM me corrigera au besoin, mais il me semble qu'on définit l'ordre de spécialisation par $y\leq x\iff y\in \overline{\{x\}}$, et que ça établit une équivalence entre les préordres et les espaces topologiques finis.

Dans cette identification, être ouvert revient à être clos vers le bas, donc fermé à qu'il n'y ait "aucune flèche sortante"

Ah, ok, bien compris pour la "spécialisation". Et pour le lacet, je pensais que les flèches indiquaient un "sens de trajet", alors que ce sont des flèches de spécialisation, juste repassées en rouge, n'est-ce pas ?
Merci GBZM et Max !

Bon, personne n'a suggéré moins de 9 pour le moment.
Et pour un groupe fondamental isomorphe à $\mathbb Z/ 3\mathbb Z$ ? J'ai en réserve un espace à 11 points.

Est-ce que toute homotopie de lacet peut être obtenue en effectuant des "mouvements élémentaires" consistant à remplacer le passage $a \to b$ (avec $a \geq b$) par un passage $a \to c \to b$ avec $a$, $b$ et $c$ deux à deux comparables ?

J'ai trouvé la réponse à ma question (c'est oui) dans le livre "Algebraic Topology of Finite Topological Spaces and Applications" de Barmak, vers la page 23.

@GBZM : Il faut ajouter que l'on peut considérer qu'on a un passage $a \to a$ même si on ne fait rien, ce qui permet de contracter les lacets. Ce qu'il est dit dans le livre de Barmak est que la relation d'équivalence générée par le fait que deux lacets de la forme $\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4$ et $\xi_1 \xi_4$ sont équivalents si $\xi_2$ et $\xi_3$ sont monotones est la relation d'homotopie. Enfin, si j'ai bien lu... Je ne suis pas intéressé par la preuve dans l'immédiat.

Edit : désolé pour les oublis dans le message.