Espaces totalement discontinus

Anas Mourahib
Anas Mourahib
dans Topologie
Bonjour
Je viens de découvrir la définition d'un espace totalement discontinu, d’après le nom qu'on a donné à ces types d'espaces, on sent que se sont des espaces tels que entre un point et un autre de cet espace il existe une partie qui n'est pas incluse dans cet espace, j'ai cherché des exemples, et j'ai trouvé que les espaces discrets sont des espaces totalement discontinues, ce qui vérifie mon intuition. Est-ce que mon intuition par rapport à ces espaces est bonne ?

Si oui je n'arrive pas à lier entre le nom qu'on a donné à ce type d'espaces, et sa définition, c'est-à-dire comment lier entre les composantes connexes d'un espace et sa discontinuité.
Merci pour votre réponse.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    "une partie qui n'est pas incluse dans cet espace" : une partie de quoi ?

    Moi je le vois comme un espace qui n'est pas forcément discret mais dans lequel le seul moyen de se déplacer est de faire des sauts.

    Je ne vois pas quelle définition tu en as vue (il y en a différentes équivalentes), mais celle que j'utilise en général c'est "tout point a un système fondamental de voisinages ouverts-fermés", ce qui implique qu'il n'y a rien de continu non constant en provenance des espaces "usuels" ($\mathbb{R}, [0,1], S^2$,...) qui te permettrait de te déplacer (mais bon, "se déplacer", c'est de l'intuition, pas des maths)
  • Poirot
    Poirot
    Deux exemples classiques d'espaces topologiques non discrets et totalement discontinus : l'ensemble de Cantor muni de la topologie induite par celle de $\mathbb R$, et les corps des nombres $p$-adiques $\mathbb Q_p$ munis de leurs distances ultramétriques usuelles.
  • Anas Mourahib
    Anas Mourahib
    @Maxtimax
    La définition que j'ai pour un espace totalement discontinu est ci-jointe, cependant ce que je voudrais dire avec un partie qui n'est pas incluse dans cet espace, vous l'avez traduit avec l'expression "sauter". Merci pour votre réponse.

    @Poirot
    Merci pour les exemples.84434
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La terminologie anglo-saxonne est meilleure à mon sens : totally disconnected.
  • Math Coss
    Math Coss
    Tu proposerais de parler d'espaces totalement disconnexes ?
  • melpomène
    melpomène
    J'aurais plutôt traduit par "totalement déconnectés", perso.

    Mel
  • christophe c
    christophe c
    Les archétypes de tels espaces (je confirme la définition la plus usitée "les singletons sont les seules composantes connexes") sont les (sous-espaces de) produits d'espaces discrets.

    Là, je vais au dodo et j'ai bien bu, mais comme "exercice", je propose aux gens motivés de trouver des exemples non homéomorphes à eux.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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