$\Bbb D^2 \to \Bbb C$ et lacets

Pourquoi j'y pense pas ...

Merci. Je vais l'homotoper à $f(0)$ ça me parait plus logique.

Je montre la contre apposée, donc je suppose $ x \notin f(\Bbb D^2)$.

Pour tout $s \in [0,1]$, je note $r_s(t) = (1-t)e^{2i\pi s}$, $ t \in [0,1]$.
En gros c'est le chemin parcourant le rayon d'angle $2\pi s$ de $\Bbb D^2$, du bord vers $0$.

Alors l'application $ H : [0,1] \times [0,1] \to \Bbb C-{x}$, définie par $ H(s,t) = f(r_s(t))$ est une homotopie de $\gamma $ vers $f(0)$. En effet $H$ est continue, ne passe pas par $x$ et on a bien :

• $H(s,0) = \gamma(s)$
• $H(s,1) = f(0)$

Du coup la suite est immédiate : $\gamma$ est homotope à un lacet constant dans $\Bbb C - x$, donc $Ind_{\gamma}(x) = 0$ par définition, ce qui conclut. J'espère que c'est tout à fait correct.

Matimax, es-tu un professeur ?

Au pire, si je modifie mon homotopie en prenant pour chemins les $r_s(t) = (1-t) + te^{2i\pi s}$, ( c'est à dire que $r_s(t)$ est le chemin joignant $1$ à $e^{2i\pi s}$ en ligne droite ) j'obtiens une homotopie $H$ entre $\gamma$ et $f(1) \in \gamma([0,1])$, ce qui règle la question que tu soulèves sur les homotopies libres.

Je vais regarder plus en détails cette histoire d'homotopies libres.

Oui je posais cette question car t'as quand même l'air d'avoir de la bouteille, enfin tu réponds vite quoi. Merci en tout cas