$\Bbb D^2 \to \Bbb C$ et lacets
Bonjour,
Je suis enragé car en faisant des dessins, ça me parait tellement évident et pourtant je n'arrive pas à lancer ma preuve. J'ai souvent ce problème avec la topo algébrique.
En fait c'est très facile de comprendre que si $x \notin f( \Bbb D^2 )$, alors le lacet $ \gamma $ va faire autant de tours autour de $x$ dans un sens que dans l'autre, et donc que $Ind_{\gamma}(x) = 0$, ce qui est bien la contraposition de ce qui est demandé. Je n'arrive pas à formaliser cette observation. Quelqu'un peut-il me donner un peu d'aide à l'allumage sans pour autant résoudre le truc ??
Merci
Je suis enragé car en faisant des dessins, ça me parait tellement évident et pourtant je n'arrive pas à lancer ma preuve. J'ai souvent ce problème avec la topo algébrique.
En fait c'est très facile de comprendre que si $x \notin f( \Bbb D^2 )$, alors le lacet $ \gamma $ va faire autant de tours autour de $x$ dans un sens que dans l'autre, et donc que $Ind_{\gamma}(x) = 0$, ce qui est bien la contraposition de ce qui est demandé. Je n'arrive pas à formaliser cette observation. Quelqu'un peut-il me donner un peu d'aide à l'allumage sans pour autant résoudre le truc ??
Merci
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Réponses
Merci. Je vais l'homotoper à $f(0)$ ça me parait plus logique.
Je montre la contre apposée, donc je suppose $ x \notin f(\Bbb D^2)$.
Pour tout $s \in [0,1]$, je note $r_s(t) = (1-t)e^{2i\pi s}$, $ t \in [0,1]$.
En gros c'est le chemin parcourant le rayon d'angle $2\pi s$ de $\Bbb D^2$, du bord vers $0$.
Alors l'application $ H : [0,1] \times [0,1] \to \Bbb C-{x}$, définie par $ H(s,t) = f(r_s(t))$ est une homotopie de $\gamma $ vers $f(0)$. En effet $H$ est continue, ne passe pas par $x$ et on a bien :
Du coup la suite est immédiate : $\gamma$ est homotope à un lacet constant dans $\Bbb C - x$, donc $Ind_{\gamma}(x) = 0$ par définition, ce qui conclut. J'espère que c'est tout à fait correct.
Matimax, es-tu un professeur ?
Non je ne suis pas (encore :-D) professeur, mais c'est gentil de demander
Je vais regarder plus en détails cette histoire d'homotopies libres.
Oui je posais cette question car t'as quand même l'air d'avoir de la bouteille, enfin tu réponds vite quoi. Merci en tout cas