Topologie et Galois
Bonjour,
J'ai suivi un cours de Théorie de Galois premier semestre et maintenant je viens de finir un cours de topologie algébrique, et en fait c'est le même cours je viens de me rendre compte.
Bon pas vraiment bien sûr mais ce que je veux dire c'est que c'est exactement la même situation.
Si $K$ est un corps de décomposition de $P$ ( disons irréductible sur $\Bbb Q$ ), alors $K$ joue le rôle du revêtement universelle $E$ d'un espace $B$ qui lui joue le rôle de $\Bbb Q$, $ Gal( K \backslash \Bbb Q)$ joue le rôle du groupe $Aut(E)$, les corps intermédiaires jouent les rôles des espaces de la forme $ E \backslash G$ pour $G$ parcourant $Aut(E)$, et les sous-groupes distingués de $ Gal( K \backslash \Bbb Q)$ jouent les rôles des sous-groupes distingués de $Aut(E)$, avec dans les deux cas un passage au quotient pour décrire $Gal( L \backslash \Bbb Q)$ et $\pi_1(E\backslash G)$ respectivement.
Bref c'est tout pareil, il doit forcément y avoir des liens. Pouvez-vous m'éclairer un peu à ce sujet, Wikipédia n'est pas très bavard.
Merci
J'ai suivi un cours de Théorie de Galois premier semestre et maintenant je viens de finir un cours de topologie algébrique, et en fait c'est le même cours je viens de me rendre compte.
Bon pas vraiment bien sûr mais ce que je veux dire c'est que c'est exactement la même situation.
Si $K$ est un corps de décomposition de $P$ ( disons irréductible sur $\Bbb Q$ ), alors $K$ joue le rôle du revêtement universelle $E$ d'un espace $B$ qui lui joue le rôle de $\Bbb Q$, $ Gal( K \backslash \Bbb Q)$ joue le rôle du groupe $Aut(E)$, les corps intermédiaires jouent les rôles des espaces de la forme $ E \backslash G$ pour $G$ parcourant $Aut(E)$, et les sous-groupes distingués de $ Gal( K \backslash \Bbb Q)$ jouent les rôles des sous-groupes distingués de $Aut(E)$, avec dans les deux cas un passage au quotient pour décrire $Gal( L \backslash \Bbb Q)$ et $\pi_1(E\backslash G)$ respectivement.
Bref c'est tout pareil, il doit forcément y avoir des liens. Pouvez-vous m'éclairer un peu à ce sujet, Wikipédia n'est pas très bavard.
Merci
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Réponses
Sinon, bravo, tu viens de découvrir pourquoi on appelle aussi $Aut(E)$ groupe de Galois du revêtement, et pourquoi on parle de revêtements galoisiens :-D
Je ne m'y connais pas assez pour te donner plus de liens que ça, mais je sais que ça a un rapport avec la géométrie algébrique, et que Grothendieck avait essayé (avec pas mal de succès me semble-t-il) de mettre les deux sous la même bannière, la théorie de Galois de Grothendieck ( voir ça et ça par exemple). Malheureusement je ne connais que par culture gé, je ne pourrai pas t'en dire plus
Oui Matimax il est tard pour les $\backslash$ je sais pas ce qui m'a pris. Merci pour ces précisions. Ce que j'en retiens c'est que ça à l'air génial mais beaucoup trop compliqué pour moi. Pour être honnête je suis un peu déçu, je m'imaginais qu'il y avait un lien évident classique et bien connu, et vu que j'aime bien ces sujets, que je me mette à bosser là-dessus. Mais c'est pas grave j'ai d'autres cours à bosser, j'espère qu'il seront intéressants.
Très bonne nuit
Sinon il y a ce livre en anglais qui explique quelques analogies mais qui est sans doute moins complet que le livre de Douady qui a pour objectif d'introduire le lecteur aux dessins d'enfants.
A un niveau avancé il y a aussi le superbe livre "Galois groups and fundamental groups" par Szamuely mais là il faut aussi avoir suivi un cours de géométrie algébrique pour bien apprécier le livre.
Le livre de Szamuely souligné par Lupulus est un bon livre pour aborder ce sujet.
Voici brièvement ce que je connais sur ce sujet :
Soit $ X $ un espace topologique.
On lui associe la catégorie des revêtements sur $ X $, qu'on note par $ \mathrm{Rev} (X) $.
Soit $ x : \{ \star \} \to X $ un point géométrique de $ X $.
On lui associe un foncteur fibre $ \omega_x \ : \ \mathrm{Rev} (X) \to \mathrm{Ens} $ défini par $ \omega_x ( p : Y \to X ) = p^{-1} (x) $.
Ensuite, on construit l'application : $ g : \pi_1 ( X , x , y ) \to \mathrm{Iso} ( \omega_{x} , \omega_{y} ) $ définie par :
Si $ \gamma \ : \ x \to y $ est un chemin dans $ \Omega ( X , x , y ) $ espace des loops de $ X $ à extrémités $ x $ et $ y $, alors, pour tout $ s \in p^{-1} (x) $, on peut relever $ \gamma $ dans $ Y $, en un chemin $ \tilde{\gamma} \ : \ s \in p^{-1} ( x ) = \omega_x ( p : Y \to X ) \to t \in p^{-1} ( y ) = \omega_y ( p : Y \to X ) $. Non ?
Cette construction ne dépend pas de $ \gamma $, d'où : $ g $ est définie par : $ g( [ \gamma ] ) = \tilde{\gamma} \in \mathrm{Iso} ( \omega_{x} , \omega_{y} ) $
En particulier, lorsque $ x = y $ ( i.e : $ \gamma $ est un lacet ), alors : $ g : \pi_1 ( X , x ) \to \mathrm{Aut} ( \omega_{x} ) $ qui est un isomorphisme.
Maintenant, pour faire le lien avec la théorie de Galois, on a le dictionnaire suivant :
- $ X \longleftrightarrow K $ avec $ K $ un corps de base tel que $ X = \mathrm{Spec} (K) $.
- $ p : Y \to X \longleftrightarrow \ L/K $ : qui est une extension fini séparable.
- $ x : \star \to X \longleftrightarrow \ x : K \to \overline{K} $ avec : $ \overline{K} $ une clôture algébrique de $ K $.
D'où, le foncteur fibre $ \omega_x $ devient : $ \omega_x \ : \ L/K \to \mathrm{Hom} ( K , \overline{K} ) $
et donc : $ \mathrm{Aut} ( \omega_x ) = \mathrm{Gal} ( K^{ \mathrm{sep} } / K ) = \pi_1 ( \mathrm{Spec} (K) , x ) $
Non ?
Tu me crois si je te dis que j'ai résolu le problème de résolution des équations algébriques de degré $ \geq 5 $ par radicaux ? :-)
Mais je ne sais plus quoi faire avec.
On t'a déjà expliqué en long en large et en travers pourquoi c'était du grand n'importe quoi :-X
De toutes façons, en mathématiques, on ne croit pas, ce n'est pas une religion, on prouve.
Cordialement,
Rescassol
Envoie un mail au comité Fields et va les troller eux plutôt que de polluer les fils hors shtam avec tes élucubrations.
Pas la peine de me répondre, je ne lirais pas et je ne te répondrais pas pas, je n'ai pas envie de faire plus dévier ce fil.
Moi je ne l'ai vu que récemment (un an tout au plus) mais apparemment il a commencé il y a 10ans et ça pollue vraiment le forum (maintenant quand je vois un fil intéressant ma première réaction c'est - et ne me le reproche pas, je n'y peux rien, c'est une réaction instinctive - "j'espère que Pablo ne le polluera pas, celui-là"). Donc forcément, des gens s'énervent.
Si encore il s'en tenait aux posts qu'il ouvre...
(Et je ne parle pas de sa manie de décréter que tout le monde est jaloux.se de lui, ou raciste -alors que personne ne sait d'où il vient, et ça n'intéresse personne- ou que-sais-je)
Où voyez vous que je pollue les fils des autres régulièrement ?.
Celui là, d'accord. Mais, c'est trop rare que j'interviens dans les fils des autres.
D'accord. Alors, j’arrête d'intervenir dans les threads qui ne m'appartiennent pas.
Je passe la plupart du temps à discuter seulement dans les fils que j'ouvre moi meme, et c'est rarement que je m’immisce dans les fils des autres. Vous êtes de grands menteurs sans scrupule.
edit : Pardon. Croisement avec le message de Lupulus.
C'est pas à toi que j'ai posté ce message Lupulus.
C'est très instructif.
edit : Il me faut relire Szamuely pour me souvenir des détails. Le pavé que j'ai rédigé plus haut est juste une récapitulation trouvé par çi par là sur le net, et j'ai recollé les morceaux. ça a donné finalement le texte que j'ai écrit plus haut. :-)
On apprend en mathématiques en faisant des erreurs (mais surement dans d'autres domaines aussi), c'est à dire en comprenant pourquoi on se trompe.
PS:
Un forum c'est comme un restaurant il y a le bruit que font les autres convives attablés mais généralement cela n'empêche pas de discuter avec les gens avec qui on a choisi de diner. B-)-
PS2:
Voir aussi https://webusers.imj-prg.fr/~jean-francois.dat/enseignement/memoires/M1AlexPuttick.pdf
http://math.stanford.edu/~conrad/210BPage/handouts/Galpi1.pdf
http://www.math.chalmers.se/~dener/Galois-theory-of-Covers.pdf