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Topologie et Galois

Envoyé par johnsmoke 
Topologie et Galois
l’an passé
Bonjour,

J'ai suivi un cours de Théorie de Galois premier semestre et maintenant je viens de finir un cours de topologie algébrique, et en fait c'est le même cours je viens de me rendre compte.

Bon pas vraiment bien sûr mais ce que je veux dire c'est que c'est exactement la même situation.

Si $K$ est un corps de décomposition de $P$ ( disons irréductible sur $\Bbb Q$ ), alors $K$ joue le rôle du revêtement universelle $E$ d'un espace $B$ qui lui joue le rôle de $\Bbb Q$, $ Gal( K \backslash \Bbb Q)$ joue le rôle du groupe $Aut(E)$, les corps intermédiaires jouent les rôles des espaces de la forme $ E \backslash G$ pour $G$ parcourant $Aut(E)$, et les sous-groupes distingués de $ Gal( K \backslash \Bbb Q)$ jouent les rôles des sous-groupes distingués de $Aut(E)$, avec dans les deux cas un passage au quotient pour décrire $Gal( L \backslash \Bbb Q)$ et $\pi_1(E\backslash G)$ respectivement.

Bref c'est tout pareil, il doit forcément y avoir des liens. Pouvez-vous m'éclairer un peu à ce sujet, Wikipédia n'est pas très bavard.

Merci
Re: Topologie et Galois
l’an passé
Tu devrais regarder le livre Algèbre et théories Galoisiennes d'Adrien et Régine Douady, qui explicitent véritablement ce lien.
Re: Topologie et Galois
l’an passé
Pourquoi mettre des $\backslash $ alors que la notation usuelle, $/$ n'est pas moins belle ?

Sinon, bravo, tu viens de découvrir pourquoi on appelle aussi $Aut(E)$ groupe de Galois du revêtement, et pourquoi on parle de revêtements Galoisiens grinning smiley

Je ne m'y connais pas assez pour te donner plus de liens que ça, mais je sais que ça a un rapport avec la géométrie algébrique, et que Grothendieck avait essayé (avec pas mal de succès me semble-t-il) de mettre les deux sous la même bannière, la théorie de Galois de Grothendieck ( voir ça et ça par exemple). Malheureusement je ne connais que par culture gé, je ne pourrai pas t'en dire plus

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Maxtimax.
Re: Topologie et Galois
l’an passé
Merci Poirot je vais commander le livre d'après le sommaire c'est pile ce qu'il me faut pour lier les deux cours.

Oui Matimax il est tard pour les $\backslash$ je sais pas ce qui m'a pris. Merci pour ces précisions. Ce que j'en retiens c'est que ça à l'air génial mais beaucoup trop compliqué pour moi. Pour être honnête je suis un peu déçu, je m'imaginais qu'il y avait un lien évident classique et bien connu, et vu que j'aime bien ces sujets, que je me mette à bosser là-dessus. Mais c'est pas grave j'ai d'autres cours à bosser, j'espère qu'il seront intéressants.

Très bonne nuit
Re: Topologie et Galois
l’an passé
J'avais trouvé le livre de Douady assez impénétrable quand j'avais essayé de le lire mais je devrais peut-être rééssayer.

Sinon il y a ce livre en anglais qui explique quelques analogies mais qui est sans doute moins complet que le livre de Douady qui a pour objectif d'introduire le lecteur aux dessins d'enfants.

A un niveau avancé il y a aussi le superbe livre "Galois groups and fundamental groups" par Szamuely mais là il faut aussi avoir suivi un cours de géométrie algébrique pour bien apprécier le livre.
Re: Topologie et Galois
l’an passé
avatar
Bonjour,

Le livre de Szamuely souligné par Lupulus est un bon livre pour aborder ce sujet.
Voici brièvement ce que je connais sur ce sujet :
Soit $ X $ un espace topologique.
On lui associe la catégorie des revêtements sur $ X $, qu'on note par $ \mathrm{Rev} (X) $.
Soit $ x : \{ \star \} \to X $ un point géométrique de $ X $.
On lui associe un foncteur fibre $ \omega_x \ : \ \mathrm{Rev} (X) \to \mathrm{Ens} $ défini par $ \omega_x ( p : Y \to X ) = p^{-1} (x) $.
Ensuite, on construit l'application : $ g : \pi_1 ( X , x , y ) \to \mathrm{Iso} ( \omega_{x} , \omega_{y} ) $ définie par :
Si $ \gamma \ : \ x \to y $ est un chemin dans $ \Omega ( X , x , y ) $ espace des loops de $ X $ à extrémités $ x $ et $ y $, alors, pour tout $ s \in p^{-1} (x) $, on peut relever $ \gamma $ dans $ Y $, en un chemin $ \tilde{\gamma} \ : \ s \in p^{-1} ( x ) = \omega_x ( p : Y \to X ) \to t \in p^{-1} ( y ) = \omega_y ( p : Y \to X ) $. Non ?
Cette construction ne dépend pas de $ \gamma $, d'où : $ g $ est définie par : $ g( [ \gamma ] ) = \tilde{\gamma} \in \mathrm{Iso} ( \omega_{x} , \omega_{y} ) $
En particulier, lorsque $ x = y $ ( i.e : $ \gamma $ est un lacet ), alors : $ g : \pi_1 ( X , x ) \to \mathrm{Aut} ( \omega_{x} ) $ qui est un isomorphisme.
Maintenant, pour faire le lien avec la théorie de Galois, on a le dictionnaire suivant :
- $ X \longleftrightarrow K $ avec $ K $ un corps de base tel que $ X = \mathrm{Spec} (K) $.
- $ p : Y \to X \longleftrightarrow \ L/K $ : qui est une extension fini séparable.
- $ x : \star \to X \longleftrightarrow \ x : K \to \overline{K} $ avec : $ \overline{K} $ une clôture algébrique de $ K $.
D'où, le foncteur fibre $ \omega_x $ devient : $ \omega_x \ : \ L/K \to \mathrm{Hom} ( K , \overline{K} ) $
et donc : $ \mathrm{Aut} ( \omega_x ) = \mathrm{Gal} ( K^{ \mathrm{sep} } / K ) = \pi_1 ( \mathrm{Spec} (K) , x ) $
Non ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Topologie et Galois
l’an passé
avatar
Lupulus :
Tu me crois si je te dis que j'ai résolu le problème de résolution des équations algébriques de degré $ \geq 5 $ par radicaux ? smiling smiley
Re: Topologie et Galois
l’an passé
Moi, oui
Re: Topologie et Galois
l’an passé
avatar
Merci. smiling smiley
Mais je ne sais plus quoi faire avec.
Re: Topologie et Galois
l’an passé
Bonjour,

Citation
Pablo
Tu me crois si je te dis que j'ai résolu le problème de résolution des équations algébriques de degré $\geq 5$ par radicaux ?

On t'a déjà expliqué en long en large et en travers pourquoi c'était du grand n'importe quoi angry smiley

De toutes façons, en mathématiques, on ne croit pas, ce n'est pas une religion, on prouve.

Cordialement,

Rescassol
Re: Topologie et Galois
l’an passé
avatar
Citation
pablo
Merci. smiling smiley
Mais je ne sais plus quoi faire avec.

Envoie un mail au comité Fields et va les troller eux plutôt que de polluer les fils hors shtam avec tes élucubrations.

Pas la peine de me répondre, je ne lirais pas et je ne te répondrais pas pas, je n'ai pas envie de faire plus dévier ce fil.
Re: Topologie et Galois
l’an passé
C’est de ce genre de commentaire que je parlais. Vous voyez bien que Pablo ne fait pas exprès, il y croit dur comme fer, sans vouloir nuire aux autres et il ne changera pas. A quoi bon l’acabler?
Re: Topologie et Galois
l’an passé
B&B : mais il n'écoute aucune explication (respectueuse et calme ou énervée) et pollue des fils intéressants par de véritables élucubrations, ou bien non liées ou bien liées mais n'apportant rien et prétendant apporter quelque chose, ce qui force les intervenant.e.s sérieux.ses à le reprendre pour éviter 1-que la personne qui a posé la question ne soit désespérée par lesdites élucubrations, 2- que le fil ne dévie, 3- que les personnes qui passent par hasard prennent les réponses de ce forum un minimum au sérieux.
Moi je ne l'ai vu que récemment (un an tout au plus) mais apparemment il a commencé il y a 10ans et ça pollue vraiment le forum (maintenant quand je vois un fil intéressant ma première réaction c'est - et ne me le reproche pas, je n'y peux rien, c'est une réaction instinctive - "j'espère que Pablo ne le polluera pas, celui-là"). Donc forcément, des gens s'énervent.

Si encore il s'en tenait aux posts qu'il ouvre...

(Et je ne parle pas de sa manie de décréter que tout le monde est jaloux.se de lui, ou raciste -alors que personne ne sait d'où il vient, et ça n'intéresse personne- ou que-sais-je)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Topologie et Galois
l’an passé
Pablo : non vu que tu n'as pas partagé ta preuve. Si tu la mets en ligne je veux bien la regarder. Comme dit par d'autre il y a beaucoup de moyen de prouver que tu es bien l'auteur. Si tu refuses de faire ça alors tu peux arrêter d'en parler. J'ajoute aussi que ce n'est pas vraiment le sujet du fil.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Topologie et Galois
l’an passé
avatar
Vous exagerez.
Où voyez vous que je pollue les fils des autres régulièrement ?.
Celui là, d'accord. Mais, c'est trop rare que j'interviens dans les fils des autres.
D'accord. Alors, j’arrête d'intervenir dans les threads qui ne m'appartiennent pas.
Je passe la plupart du temps à discuter seulement dans les fils que j'ouvre moi meme, et c'est rarement que je m’immisce dans les fils des autres. Vous êtes de grands menteurs sans scrupule.

edit : Pardon. Croisement avec le message de Lupulus.
C'est pas à toi que j'ai posté ce message Lupulus.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Topologie et Galois
l’an passé
J'ajoute aussi que si $X$ est une courbe, évidemment il n'existe pas un corps $K$ tel que $X = Spec(K)$ déjà parce que $X$ n'a aucune raison d'être affine mais surtout parce que $\dim X = 1$. Le corps qu'il faut considérer dans la correspondance c'est le corps de fractions de $\mathcal O_X(U)$ où $U$ est n'importe quel ouvert strict de $X$. D'habitude on note ce corps $K(X)$ ou $\mathscr M(X)$ puisqu'on peut l'interpréter comme le corps des fonctions méromorphes sur $X$.
Re: Topologie et Galois
l’an passé
avatar
Oui. Merci pour ces précisions Lupulus. Tu maîtrises mieux ce domaine que moi. smiling smiley
C'est très instructif.

edit : Il me faut relire Szamuely pour me souvenir des détails. Le pavé que j'ai rédigé plus haut est juste une récapitulation trouvé par çi par là sur le net, et j'ai recollé les morceaux. ça a donné finalement le texte que j'ai écrit plus haut. smiling smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Topologie et Galois
l’an passé
avatar
A quoi bon étudier les mathématiques si on n'est pas capable de reconnaître ses propres erreurs (au moins pour soi-même si on est trop fier pour les reconnaître publiquement)?
On apprend en mathématiques en faisant des erreurs (mais surement dans d'autres domaines aussi), c'est à dire en comprenant pourquoi on se trompe.

PS:
Un forum c'est comme un restaurant il y a le bruit que font les autres convives attablés mais généralement cela n'empêche pas de discuter avec les gens avec qui on a choisi de diner. smoking smiley

PS2:
Voir aussi [webusers.imj-prg.fr]
[math.stanford.edu]
[www.math.chalmers.se]

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 4 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Fin de partie.
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