Continuité par les voisinages
Bonsoir,
Je veux démontrer que la fonction $$f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$$ est une fonction continue par les voisinages.
Soit $x\in \mathbb{R}$ et $W=\,]h(x)-\varepsilon,h(x)+\varepsilon[\,=\Big]\dfrac{1}{1+x^2}-\varepsilon,\dfrac{1}{1+x^2}+\varepsilon\Big[$
J'ai calculé l'image inverse $$f^{-1}(W)=\begin{cases} \left]\sqrt{\dfrac{1}{\frac{1}{1+x^2}+\varepsilon}-1},\sqrt{\dfrac{1}{\frac{1}{1+x^2}-\varepsilon}-1}\right[,& \varepsilon\leq \dfrac{x^2}{1+x^2}\\ \left[0,\sqrt{\dfrac{1}{\frac{1}{1+x^2}-\varepsilon}-1}\right[,&\varepsilon>\dfrac{x^2}{1+x^2}
\end{cases}
$$ Je n'arrive pas à montrer comment $f^{-1}(W)$ est un voisinage de $x$ dans $(\mathbb{R},|.|)$?
Je veux démontrer que la fonction $$f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$$ est une fonction continue par les voisinages.
Soit $x\in \mathbb{R}$ et $W=\,]h(x)-\varepsilon,h(x)+\varepsilon[\,=\Big]\dfrac{1}{1+x^2}-\varepsilon,\dfrac{1}{1+x^2}+\varepsilon\Big[$
J'ai calculé l'image inverse $$f^{-1}(W)=\begin{cases} \left]\sqrt{\dfrac{1}{\frac{1}{1+x^2}+\varepsilon}-1},\sqrt{\dfrac{1}{\frac{1}{1+x^2}-\varepsilon}-1}\right[,& \varepsilon\leq \dfrac{x^2}{1+x^2}\\ \left[0,\sqrt{\dfrac{1}{\frac{1}{1+x^2}-\varepsilon}-1}\right[,&\varepsilon>\dfrac{x^2}{1+x^2}
\end{cases}
$$ Je n'arrive pas à montrer comment $f^{-1}(W)$ est un voisinage de $x$ dans $(\mathbb{R},|.|)$?
Réponses
-
(Note : je n'ai pas vérifié tes calculs)
Déjà, peux-tu voir pourquoi tu as le droit de choisir $\epsilon$ aussi petit que tu veux ? En particulier tu peux choisir de te placer dans le premier cas . Ensuite, dans le premier cas tu as en face de toi un intervalle ouvert : je te conseille de le regarder fixement jusqu'à voir $x$ dedans, et ça ira. -
Bonjour.
1) Il n'y a pas besoin de faire 2 cas sur $\varepsilon$, car ce qui t'intéresse c'est d'avoir un voisinage de x qui est dans $f^{-1}(W)$. Si tu y arrives avec un $\varepsilon'$ plus petit que $\varepsilon$ en particulier plus petit que $\frac {x^2}{1+x^2}$, ça suffit. évidemment, le cas x=0 pose problème.
2) Je suis assez surpris de tes $f^{-1}(W)$, car f est paire, donc les images réciproques sont symétriques par rapport à 0. Ce qui n'est pas le cas ici (représente $f$ et $W$ et regarde).
3) As-tu même vérifié que x est dans $f^{-1}(W)$ ?
4) $W$ est un ouvert. Comme les ouverts sont des voisinages particuliers, et qu'on sait que l'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue est un ouvert, tes $f^{-1}(W)$ devraient être des ouverts contenant x. Dans le premier cas, c'est bon (si x est dedans, je n'ai pas vérifié), pas dans le deuxième.
5) Tu n'as pas pris un voisinage quelconque pour $W$, donc en fait, tu fais la preuve par les ouverts :-)
Donc un calcul à vérifier et à finir.
Cordialement. -
le problème je n'arrive pas a voir que $x\in f^{-1}(W)$.
-
Ton calcul est nécessairement faux puisque $f$ est paire : l'image réciproque d'une partie quelconque doit être stable par passage à l'opposé. Tu n'as sans doute pas grand chose à changer toutefois.
Tu veux simplement montrer que $f^{-1}(W)$ est un voisinage de $x$. Si $x$ n'est pas nul, cela te permet de supposer que $\varepsilon$ est strictement plus petit que $\frac{x^2}{1+x^2}$ si ça t'arrange. Pourquoi ? Pourquoi est-ce que ça t'arrange ?
À la fin des fins, si tu trouver un intervalle (ou une réunion d'intervalles) ouvert(s) qui contient $x$, tu as gagné, n'est-ce pas ?
[Edit : multi-grillé mais bon, y a compatibilité... Pour vérifier que $x\in f^{-1}(W)$, ne suffit-il pas simplement de remplacer $\varepsilon$ par $0$ dans les expressions du bord de tes intervalles ? -
Je veux démontrer par les voisinages que
la fonction $f: x\mapsto \frac{1}{1+x^2}$
est une fonction continue
Et pourquoi veux-tu faire, ça? Pour t'entrainer à taper en latex?
Si $f(b) \in ]f(a)-e, f(a) + e[$ alors
(1) $1/(1+b^2) < 1/ (1+a^2) + e$ et
(2) $1/(1+b^2) + e > 1/(1+a^2) $
Pas besoin de surdoser avec le latex. Ne cours pas deux lièvres en même temps.
Par ailleurs, comme tu as deux bornes (c'est toi qui as voulu t'auto-infliger cette punition), tu vas avoir deux textes à rédiger. Un pour le (1) et un autre pour le (2). Comme quoi, faut être mesuré quand on fait des projets.
Alors heureusement, je t'ai signalé une symétrie... Mais il faudra que tu justifies soigneusement ton pointeur "éviteur de recopie"
Si tu veux traiter la (1) en premier, tu peux déduire que $(1+a^2) < (1+b^2) + e(1+a^2)(1+b^2) $ donc que
$$ a^2 < b^2 + e \times (NombrePlusGrandQueUn) $$
Certes tu peux continuer, mais, là tu vois pourquoi les gens font souvent accepter à leurs étudiants des théorèmes de transfert disant (si machin est continue alors truc l'est aussi)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 22
+17 Invités